[논문 리뷰] Calibration of Local-Stochastic Volatility Models by Optimal Transport

Ivan Guo, Grégoire Loeper외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 15.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 국소-확산 볼라티리티(LSV) 모델에 대한 새로운 최적 운반 기반 校정 방법을 제안하며, 관찰된 유럽식 옵션 가격을 직접 일치시킴으로써 인공지능 볼라티리티 표면의 보간을 피한다. 볼록 쌍대성과 반마르팅게일 최적 운반 프레임워크를 사용하여, 校정을 완전히 비선형 헤밀토니안–자코비–벨만(HJB) 방정식으로 공식화하고 정책 반복 및 ADI 스킴을 통해 해결함으로써, 사전에 근사 분포를 가정하지 않고도 시장 데이터에 정확히 적합된다.

ABSTRACT

In this paper, we study a semi-martingale optimal transport problem and its application to the calibration of Local-Stochastic Volatility (LSV) models. Rather than considering the classical constraints on marginal distributions at initial and final time, we optimise our cost function given the prices of a finite number of European options. We formulate the problem as a convex optimisation problem, for which we provide a PDE formulation along with its dual counterpart. Then we solve numerically the dual problem, which involves a fully non-linear Hamilton-Jacobi-Bellman equation. The method is tested by calibrating a Heston-like LSV model with simulated data and foreign exchange market data.

연구 동기 및 목표

• 기존의 인공지능 볼라티리티 표면 보간에 의존하는 전통적 LSV 校정 방법의 불안정성과 부정확성을 해결한다.
• 기존의 校정 기법에서의 파라미터 모델 제약과 무위험 거래 제약을 극복한다.
• 완전한 인공지능 볼라티리티 표면 재구성 없이도 유한한 시장 옵션 가격을 직접 사용하는 校정 프레임워크를 개발한다.
• 최적 운반 이중성에 의해 시장 일관성을 강제하고 보간을 피함으로써 레버리지 함수가 잘 정의되고 규칙적인 형태를 유지하도록 보장한다.
• 모델 일관성을 유지하고 무위험 거래 위반이 발생하지 않도록 하는 강력한 비모수적 校정 방법을 제공한다.

제안 방법

• 관찰된 유럽식 옵션 가격에 대한 제약 조건을 사용하여, 근사 분포가 아닌 실제 유럽식 옵션 가격을 기반으로 한 반마르팅게일 최적 운반 문제로 LSV 校정 문제를 공식화한다.
• 펜클-로카펠라 쌍대성(Fenchel–Rockafellar duality)을 사용하여 완전히 비선형 헤밀토니안–자코비–벨만(HJB) 방정식으로 이어지는 이중 공식을 유도한다.
• 각 시간 단계에서 HJB 방정식을 해결하기 위해 정책 반복 알고리즘을 구현하고, 값 함수를 반복적으로 갱신한다.
• 시간에 따라 변화하는 HJB 및 포커-플랑크 방정식을 고안정성과 고정밀도로 수치적으로 해결하기 위해 교차 방향 암시적(ADI) 방법을 사용한다.
• 시장 옵션 가격과 관련된 라그랑주 승수를 갱신하기 위해 L-BFGS 알고리즘을 적용하여 校정 오차를 최소화한다.
• 옵션 수익 지급 제약 조건을 만기 일자에 통합한 시간 이산화된 스킴과 이중 문제를 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적 운반 이론이 인공지능 볼라티리티 표면의 보간 없이 LSV 모델을 校정하는 데 적합하게 응용될 수 있는가?
• RQ2 반마르팅게일 최적 운반을 통한 LSV 校정 문제의 이중 공식화가 안정적이고 정확한 校정 방법을 제공하는가?
• RQ3 수치적으로 ADI 및 정책 반복을 사용하여 HJB 방정식을 효율적으로 해결하면서도 시장 일관성을 유지할 수 있는가?
• RQ4 기존의 보간 기반 접근 방식과 비교해 실제 외환 시장 데이터에서 이 방법의 성능은 어떠한가?
• RQ5 유한한 관찰된 옵션 가격만을 사용할 경우, 레버리지 함수의 정규성 및 존재성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 보간 없이도 시뮬레이션된 데이터에 대해 헤스턴 유사 LSV 모델을 모든 지정된 유럽식 옵션 가격에 정확히 적합시키며 수렴을 보여준다.
• 2012년 8월의 실제 FX 시장 데이터에서, 1개월에서 5년까지의 만기 기간 동안 10-델타, 25-델타, 50-델타 콜 및 풋 옵션에 대해 정확한 校정을 달성한다.
• 경사 노름이 1e-5 이하인 L-BFGS 업데이트 스킴 하에서 알고리즘이 수렴함을 확인하여 강력한 최적화 행동을 보였다.
• 이중 HJB 공식화를 통해, 조밀한 시장 데이터 상황에서도 무위험 거래 조건을 위반하지 않고 校정이 일관되게 유지됨을 보장한다.
• 기존의 인공지능 볼라티리티 표면의 파라미터 보간에서 흔히 발생하는 불안정성과 무위험 거래 위반을 피한다.
• 수치 실험을 통해 해가 잘 정의되어 있으며, 최적 운반 프레임워크에 의해 레버리지 함수가 암묵적으로 정규화됨을 확인하였다.