[논문 리뷰] Can a Hagedorn system have a temperature other than $T_C$ or can a thermostat have a temperature other than its own?

L. G. Moretto, K. A. Bugaev외 2명|ArXiv.org|2006. 01. 04.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Hagedorn 시스템—레벨 밀도가 ρ∝exp(aE)로 표현되는 시스템—은 유일한 내재 온도 TC=1/a에서만 존재할 수 있으며, 이는 전통적으로 사용되는 분할함수 Z(T)=TC T/(TC−T)가 TC 이하의 임의의 온도를 허용한다는 점과 모순된다. 저자들은 이러한 분할함수가 열역학적으로 일관되지 않음을 입증한다. 이는 Hagedorn 시스템이 에너지에 대해 선형인 엔트로피를 가지므로 고정된 유일한 온도 T_C를 가지며, 따라서 임의의 T<TC에서 열역학적 평형에 도달할 수 없다는 점에서 비롯된다.

ABSTRACT

This is a note intended to complement our paper (nucl-th/0504010) and addressed to the attention of QGP workers interested in bag models, Hagedorn spectra, and the like. It tries to show that with a Hagedorn-like experimental spectrum the partition function can not be calculated and that a canonical description derived for the microcanonical ensemble exists only for a single, fixed temperature.

연구 동기 및 목표

• Hagedorn 시스템에 대해 온도에 의존하는 분할함수 Z(T) = TC T/(TC−T)의 전통적 사용을 도전한다.
• 레벨 밀도 ρ∝exp(aE)를 가지는 시스템가 유일한 고정된 온도 TC=1/a에서 내재적으로 열역학적 기준이 되며, 이는 온도가 고정되어 있음을 명확히 한다.
• 표준 분할함수 접근법이 실패하는 이유를 밝히며, 이는 임의의 열역학적 기준과의 결합을 가정하기 때문인데, 이는 이러한 시스템에 대해 물리적으로 타당하지 않다.
• 열역학적 평형은 두 시스템의 엔트로피의 로그 도함수(즉, 역온도)가 일치할 때만 가능하며, Hagedorn 시스템의 경우 이는 오직 T=TC에서만 가능하다는 것을 확립한다.

제안 방법

• Hagedorn 시스템의 레벨 밀도 ρ(E) = exp(E/TC)를 분석하여 선형 엔트로피 S(E) = E/TC를 도출한다.
• 라플라스 변환을 통해 분할함수 Z(T)를 유도한다: Z(T) = ∫ exp(E/TC) exp(−E/T) dE = TC T/(TC−T), 그러나 이는 물리적으로 타당하지 않음을 보여준다.
• 미세정준에서 정준으로의 전이를 통해 분할함수가 시스템의 엔트로피 S(E)가 열역학적 기준과의 역온도 일치를 허용할 때에만 의미가 있음을 보여준다.
• 열역학적 평형 조건을 적용한다: ∂S_A/∂E = ∂S_B/∂E, 이는 1/T_A와 1/T_B의 일치가 필요하며, 이는 두 시스템의 온도 의존 엔트로피 도함수의 호환성이 필요하다는 것을 의미한다.
• Hagedorn 시스템의 경우 S(E)가 선형이므로 T_A는 에너지에 관계없이 일정하며, 이는 T_C에서 진정한 열역학적 기준이 된다는 것을 보여준다.
• 선형 S(E)를 가지는 시스템는 T≠T_C의 온도를 부여받을 수 없으며, 따라서 T≠T_C에 대한 Z(T)는 열역학적으로 의미가 없다는 결론을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Hagedorn 시스템는 내재 임계온도 TC=1/a 이외의 온도를 가질 수 있는가?
• RQ2 표준 분할함수 Z(T)=TC T/(TC−T)는 Hagedorn 시스템에 대해 유효한가, 아니면 열역학적 일관성을 위반하는가?
• RQ3 레벨 밀도 ρ∝exp(aE)를 가지는 시스템는 임의의 온도 T<TC에서 열역학적 기준과 결합될 수 있는가?
• RQ4 엔트로피 S(E)가 에너지에 대해 선형일 경우, 분할함수 Z(T)의 물리적 의미는 무엇인가?
• RQ5 특히 한 시스템이 Hagedorn 시스템일 경우, 열역학적 평형이 성립하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 레벨 밀도 ρ∝exp(aE)를 가지는 Hagedorn 시스템는 고정된 내재 온도 TC=1/a를 가지며, 이 외의 온도에서 존재할 수 없다.
• 표준 분할함수 Z(T)=TC T/(TC−T)는 열역학적으로 일관되지 않으며, 이는 시스템가 임의의 T<TC에서 열역학적 평형에 도달할 수 있다는 것을 암시하기 때문이다. 이는 시스템의 고정된 온도와 모순된다.
• 시스템의 분할함수는 그 엔트로피 S(E)=lnρ(E)가 열역학적 기준과의 역온도 일치를 허용할 때에만 물리적으로 의미가 있다. Hagedorn 시스템의 경우 이는 오직 T=TC에서만 가능하다.
• 두 시스템 간의 열역학적 평형은 그들의 역온도가 일치할 때만 가능하며, Hagedorn 시스템의 경우 이는 두 번째 시스템도 T=TC를 가져야 가능하다.
• 선형 S(E)를 가지는 시스템는 T≠T_C의 온도로 강제로 조절될 수 없으며, 그 온도는 S(E)의 기울기로 결정되는 내재적 성질이기 때문이다.
• Hagedorn 시스템에 Z(T)를 사용하면 공명 기체 모델과 백 모델 계산에서 오류가 발생한다. 이는 열역학적 기준이 자신의 내재 온도만 가질 수 있다는 원칙을 위반하기 때문이다.