[논문 리뷰] Can an infinite left-product of nonnegative matrices be expressed in terms of infinite left-products of stochastic ones?

Alain Thomas|arXiv (Cornell University)|2009. 08. 25.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 공통 오른쪽 고유벡터가 0 성분을 포함할 경우에도 비음수 행렬의 무한한 왼쪽 곱이 스 tochastic 행렬의 무한한 왼쪽 곱으로 표현될 수 있는지 조사한다. 추가로 비대각 블록에 대한 조건이 만족될 경우, 원래 곱의 수렴성과 관련된 스 tochastic 곱의 수렴성이 동치임을 입증하며, 이는 양의 고유벡터가 존재하는 경우에 한해 알려진 결과를 초월한다.

ABSTRACT

If a left-product $M_n... M_1$ of square complex matrices converges to a nonnull limit when $n o\infty$ and if the $M_n$ belong to a finite set, it is clear that there exists an integer $n_0$ such that the $M_n$, $n\ge n_0$, have a common right-eigenvector $V$ for the eigenvalue 1. Now suppose that the $M_n$ are nonnegative and that $V$ has positive entries. Denoting by $Δ$ the diagonal matrix whose diagonal entries are the entries of $V$, the stochastic matrices $S_n=Δ^{-1}M_nΔ$ satisfy $M_n... M_{n_0}=ΔS_n... S_{n_0}Δ^{-1}$, so the problem of the convergence of $M_n... M_1$ reduces to the one of $S_n... S_{n_0}$. In this paper we still suppose that the $M_n$ are nonnegative but we do not suppose that $V$ has positive entries. The first section details the case of the $2 imes2$ matrices, and the last gives a first approach in the case of $d imes d$ matrices.

연구 동기 및 목표

• 비음수 행렬의 무한한 왼쪽 곱이 공통 오른쪽 고유벡터가 1에 대한 고유값을 가지며 0 성분을 포함할 경우에도 스 tochastic 행렬의 무한한 왼쪽 곱을 통해 특성화될 수 있는지 확인하는 것.
• 양의 고유벡터가 아닐 경우에도 비음수 행렬에서 스 tochastic 행렬로의 고전적 축소를 확장하는 것.
• 비음수 행렬의 무한한 왼쪽 곱의 수렴성을 불변 부분공간에서의 스 tochastic 대응 곱의 수렴성으로 이용한 필요 및 충분조건을 규명하는 것.
• 원래 행렬 곱의 수렴성과 스펙트럼 부분공간에서의 관련된 스 tochastic 곱의 수렴성 간의 동치성을 정형화하는 것. 이때 비대각 블록에 대한 추가 조건이 필요하다.

제안 방법

• 2×2 행렬의 경우, 고유값 1에 대한 공통 오른쪽 고유벡터의 구조에 따라 수렴성을 분류하며, 양수, 0, 또는 혼합 성분을 구분한다.
• 고유벡터 V로부터 유도된 대각행렬 Δ를 이용한 유사성 변환을 도입하며, 비음수 행렬을 스 tochastic 행렬 Sₙ = Δ⁻¹MₙΔ로 변환한다.
• d×d 행렬의 경우, 각 오른쪽 고유벡터 Vᵢ의 지지집합을 기반으로 색인 집합을 블록 Kᵢ로 분할하고, 각 블록 Kᵢ에서 스 tochastic 곱 Sₙ⁽ⁱ⁾를 구성한다.
• 원래 곱의 수렴성은 각 블록 Kᵢ에서의 스 tochastic 곱 Sₙ⁽ⁱ⁾⋯Sₙ₀⁽ⁱ⁾의 수렴성과 더불어 Kᶜ 블록을 포함한 비대각 블록 곱의 수렴성과 동치임을 보여준다.
• 블록 행렬 분해와 곱 공식을 이용하여 원래 행렬 곱을 삼각 블록 행렬의 곱으로 표현하며, 불변 부분공간에서의 행동을 분리한다.
• 스 tochastic 곱의 행렬식과 트레이스의 동역학을 활용하여 수렴성을 분석하며, 특히 |det Qₙ|이 0으로 수렴하는지 여부에 초점을 맞춘다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공통 오른쪽 고유벡터가 1에 대한 고유값을 가지며 0 성분을 포함할 경우에도 비음수 행렬의 무한한 왼쪽 곱의 수렴성이 스 tochastic 곱의 수렴성으로 축소될 수 있는가?
• RQ2 불변 부분공간에서 스 tochastic 곱의 수렴성이 원래 비음수 행렬 곱의 수렴성을 보장하기 위해 추가로 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ3 특히 0 성분을 포함하는 오른쪽 고유벡터의 구조는 비음수 행렬 곱이 스 tochastic 곱으로 축소될 수 있는 데 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비대각 블록 Mᴷᶜ, Mᴷ, Mᴷ,ᴷᶜ에 대해 어떤 조건이 성립할 경우, 불변 부분공간에서의 수렴성과 함께 전체 곱 Mₙ⋯M₁의 수렴성이 보장되는가?

주요 결과

• 2×2 비음수 행렬의 경우, 왼쪽 곱 Mₙ⋯M₁의 수렴성은 다음 세 경우 중 하나에 의해 동치이다: (1) 공통 양의 오른쪽 고유벡터가 존재하고 관련된 스 tochastic 곱이 수렴할 경우, (2) 공통 오른쪽 고유벡터 (1,0)ᵀ일 경우 bₙdₙ₋₁⋯dₙ₀의 합이 유한하고 dₙ⋯dₙ₀가 수렴할 경우, 또는 (3) 공통 오른쪽 고유벡터 (0,1)ᵀ일 경우 cₙaₙ₋₁⋯aₙ₀의 합이 유한하고 aₙ⋯aₙ₀가 수렴할 경우.
• d×d 경우, Mₙ⋯M₁의 수렴성은 각 고유벡터 Vᵢ의 지지집합에 대응하는 블록 Kᵢ에서의 스 tochastic 곱 Sₙ⁽ⁱ⁾⋯Sₙ₀⁽ⁱ⁾의 수렴성과 더불어 ∑ᵢ₌ₙ₀ⁿ Mᴷⁿ⋯Mᴷⁱ⁺¹ Mᴷ,ᴷᶜⁱ Mᴷᶜⁱ⁻¹⋯Mᴷᶜⁿ₀의 수렴성과 동치이다.
• ∑ᵢ₌ₙ₀ⁿ Mᴷⁿ⋯Mᴷⁱ⁺¹ Mᴷ,ᴷᶜⁱ Mᴷᶜⁱ⁻¹⋯Mᴷᶜⁿ₀의 합 조건은 필수적이며, 제거될 수 없으며, 이 조건이 수렴하지만 대각 블록은 수렴하는 반면 전체 곱이 수렴하지 않는 반례를 통해 입증된다.
• 만약 모든 n에 대해 Mᴷᶜⁿ의 스펙트럼 반경이 1 미만이거나, 고정된 h에 대해 Mᴷᶜⁿ⁺ʰ⋯Mᴷᶜⁿ의 고유값 ≥1이 사라진다면, 비대각 수렴 조건이 만족된다.
• 정규화된 곱 Rₙ = Mₙ⋯M₁ / ||Mₙ⋯M₁||의 수렴성은 한정된 행렬 R의 열이 무한히 자주 등장하는 각 행렬 M의 오른쪽 고유벡터이자 고유값 λ ≠ 0임을 의미한다.
• 논문은 정규화된 곱 Rₙ의 수렴성이 (1/λ)Mₙ⋯M₁의 수렴성을 보장하지는 않지만, 그 역은 성립함을 입증한다: 만약 (1/λ)Mₙ⋯M₁이 비영 행렬로 수렴한다면 Rₙ 역시 수렴한다.