[논문 리뷰] Can one quantum bit separate any pair of words with zero-error?

Aleksandrs Belovs, J. Andrés Montoya외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 25.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 0-오차 또는 유계-오차로 서로 다른 단어 쌍을 분리하는 데 있어 양자 및 아핀 유한 오토마타(QFAs 및 AfAs)의 상태 효율성을 조사한다. 2-상태 QFAs는 비결정적 수용을 통해 어떤 단어 쌍이라도 분리할 수 있으며, 0-오차로도 가능할 것이라 추측한다. 이산 유한 언어의 경우, 한 언어가 싱글턴일 경우 AfAs는 단지 2개의 상태로 0-오차 분리를 달성하며, 일반적인 경우는 2^{|X|}개의 상태를 필요로 하며, QFAs보다 효율성이 뛰어나다.

ABSTRACT

Determining the minimum number of states required by a finite automaton to separate a given pair of different words is an important problem. In this paper, we consider this problem for quantum automata (QFAs). We show that 2-state QFAs can separate any pair of words in nondeterministic acceptance mode and conjecture that they can separate any pair also with zero-error. Then, we focus on (a more general problem) separating a pair of two disjoint finite set of words. We show that QFAs can separate them efficiently in nondeterministic acceptance mode, i.e. the number of states is two to the power of the size of the small set. Additionally, we examine affine finite automata (AfAs) and show that two states are enough to separate any pair with zero-error. Moreover, AfAs can separate any pair of disjoint finite sets of words with one-sided bounded error efficiently like QFAs in nondeterministic mode.

연구 동기 및 목표

• 모든 서로 다른 단어 쌍을 0-오차로 분리하기 위해 필요한 최소 상태 수를 QFAs 및 AfAs에서 결정하는 것.
• 2-상태 양자 유한 오토마타(QFAs)가 어떤 단어 쌍이라도 0-오차 분리를 달성할 수 있는지 조사하는 것.
• 이산 유한 단어 집합을 분리할 때 QFAs와 아핀 유한 오토마타(AfAs)의 상태 효율성을 비교하는 것.
• 노트리드 수용 및 유계-오차 모드가 QFAs와 AfAs에서 단어 분리 문제를 포함한 프omise 문제에 대해 어떤 영향을 미치는지 탐색하는 것.
• 단어 쌍과 유한 언어를 분리하는 데 있어 상태 효율적인 오토마타의 이론적 경계와 구성 방법을 설정하는 것.

제안 방법

• 실수 확률 진폭과 유니터리 전이 행렬을 사용하는 Moore-Crutchfield 양자 유한 오토마타(MCQFAs)를 활용하여, 특정 단어는 수용 상태에서 진폭이 0이 되고, 다른 단어는 비영일 경우를 만족하는 2-상태 QFAs를 구성한다.
• 2-상태 MCQFAs의 텐서 곱 구성법을 사용하여 다중 단어에 대해 병렬 실행을 시뮬레이션하고, 유한 집합 X와 X에 속하지 않는 모든 단어를 2^{|X|}개의 상태로 분리할 수 있도록 한다.
• AfAs의 유계-오차 수용 확률을 감소시키기 위해 3-상태 기법을 적용하여 추가 상태 없이도 임의로 작은 한쪽 오차를 달성할 수 있도록 한다.
• 실수값, 비음수 및 음수 전이 확률을 사용하는 아핀 유한 오토마타(AfAs)를 도입하여, 확률적 또는 양자 모델보다 더 표현력 있는 상태 전이를 가능하게 한다.
• 아핀 변환은 확률 분포를 유지하고 비선형 상태 진화를 허용하므로, QFAs보다 더 효율적인 분리를 가능하게 한다.
• AfA 구성에서 첫 번째 상태의 최종 상태 진폭을 사용하여 언어 X에 속하는 입력과 X에 속하지 않는 입력를 구분함으로써 0-오차 또는 유계-오차 분리를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2-상태 양자 유한 오토마타(QFAs)는 어떤 단어 쌍이라도 0-오차 확률로 분리할 수 있는가?
• RQ2 비결정적 수용 모델을 초월하여, 단지 두 개의 양자 상태만으로도 어떤 단어 쌍이라도 0-오차 분리를 달성할 수 있는가?
• RQ3 QFAs와 아핀 유한 오토마타(AfAs) 간에 이산 유한 언어를 분리할 때 상태 복잡도는 어떻게 비교되는가?
• RQ4 AfAs는 단어 쌍과 유한 언어를 유계 또는 0-오차로 분리할 때 QFAs보다 더 효율적인 상태 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ5 유한 집합 X와 다른 모든 단어를 분리하기 위해 QFAs와 AfAs가 필요한 최소 상태 수는 얼마이며, 이는 |X|에 따라 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 2-상태 QFAs는 비결정적 수용을 통해 어떤 서로 다른 단어 쌍이라도 분리할 수 있으며, 이 경우 목표 단어에 대해서는 수용 진폭이 0이고, 나머지 모든 단어에 대해서는 비영이다.
• 저자들은 2-상태 QFAs가 비결정적 수용 모델을 초월하여도 어떤 단어 쌍이라도 0-오차 분리를 달성할 수 있을 것이라 추측하며, 특정 구성과 대칭성에 기반한 증거를 제시한다.
• 유한 집합 X와 다른 모든 단어를 분리하기 위해 QFAs는 비결정적 수용 모드에서 2^{|X|}개의 상태가 필요하며, 이 경우 최종 상태 진폭이 0이 되는 것은 입력이 X에 속할 때에만 성립한다.
• 아핀 유한 오토마타(AfAs)는 단지 2개의 상태로 어떤 단어 쌍이라도 0-오차로 분리할 수 있으며, QFAs에 비해 뛰어난 상태 효율성을 보여준다.
• AfAs는 |X| ≤ |Y|일 경우, X와 Y의 이산 유한 언어 쌍을 한쪽 오차가 유계된 상태에서 2^{|X|}개의 상태로 분리할 수 있으며, X가 싱글턴일 경우 0-오차로 분리할 수 있다.
• 이 논문은 2^{|X|}-상태 AfAs를 구성하여 X에 속하는 입력은 확률 1로 수용하고, 나머지 모든 입력은 최대 2/3의 확률로 수용하며, 3-상태 기법을 사용하여 오차를 추가 상태 없이도 임의로 작은 값으로 줄였다.