[논문 리뷰] Cancelation free formula for the antipode of linearized Hopf monoid

Nantel Bergeron, Carolina Benedetti|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 선형화된 선형 순서의 하다르드 곱의 호프 모나드(L)와 선형화된 호프 모나드 H의 하다르드 곱의 반대원소에 대한 取소-없음, 다중도-없는 공식을 제시한다. 이는 H로부터 유도된 조합론적 호프 대수에서 새로운 반대원소 공식을 가능하게 한다. 주요 기여는 초그래프의 무방향 정점 방향화를 이용한 구조적 프레임워크로, 스탠리의 (-1)-색칠 정리와 색칠 다항식과 유사한 항등식을 유도하는 것이다. 이는 순열과 q-변형에 응용된다.

ABSTRACT

Many combinatorial Hopf algebras $H$ in the literature are the functorial image of a linearized Hopf monoid $\bf H$. That is, $H={\mathcal K} ({\bf H})$ or $H=\overline{\mathcal K} ({\bf H})$. Unlike the functor $\overline{\mathcal K}$, the functor ${\mathcal K}$ applied to ${\bf H}$ may not preserve the antipode of ${\bf H}$. In this case, one needs to consider the larger Hopf monoid ${\bf L} imes{\bf H}$ to get $H={\mathcal K} ({\bf H})=\overline{\mathcal K}({\bf L} imes{\bf H})$ and study the antipode in ${\bf L} imes{\bf H}$. One of the main results in this paper provides a cancelation free and multiplicity free formula for the antipode of ${\bf L} imes{\bf H}$. From this formula we obtain a new antipode formula for $H$. We also explore the case when ${\bf H}$ is commutative and cocommutative. In this situation we get new antipode formulas that despite of not being cancelation free, can be used to obtain one for $\overline{\mathcal K}({\bf H})$ in some cases. We recover as well many of the well-known cancelation free formulas in the literature. One of our formulas for computing the antipode in ${\bf H}$ involves acyclic orientations of hypergraphs as the central tool. In this vein, we obtain polynomials analogous to the chromatic polynomial of a graph, and also identities parallel to Stanley's (-1)-color theorem. One of our examples introduces a {\it chromatic} polynomial for permutations which counts increasing sequences of the permutation satisfying a pattern. We also study the statistic obtained after evaluating such polynomial at $-1$. Finally, we sketch $q$ deformations and geometric interpretations of our results. This last part will appear in a sequel paper in joint work with J. Machacek.

연구 동기 및 목표

• 함수자 K가 선형화된 호프 모나드 H의 반대원소를 보존하지 않을 수 있는 문제를 해결하기 위해 L×H를 사용하는 것.
• L×H의 반대원소에 대한 취소-없고 다중도-없는 공식을 개발하여 조합론적 호프 대수에서 새로운 반대원소 계산을 가능하게 하는 것.
• H가 가환성과 코가환성을 만족할 경우를 탐색하고, 특히 초그래프의 호프 모나드를 보편적 구조로 집중적으로 다루는 것.
• 스탠리의 (-1)-색칠 정리와 색칠 다항식 항등식을 초그래프와 순열로 일반화하는 것.
• q-변형과 초그래프 기반의 네스토헤드론을 통한 반대원소 공식의 기하적 해석을 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 하나의 종류의 종류에서 호프 대수의 구조를 호프 모나드로 올리기 위해 하다르드 곱 L×H를 사용하여 반대원소 보존을 보장한다.
• 초그래프의 무방향 정점 방향화를 중심적인 조합론적 도구로 사용하여 L×H에 대한 취소-없는 반대원소 공식을 구성한다.
• 초그래프와 순열에 대해 증가하는 수열을 세는 색칠 유사 다항식을 정의한다. 이는 패턴 조건을 만족한다.
• t = -1에서의 평가를 적용하여 스탠리의 (-1)-색칠 정리와 유사한 항등식을 도출한다.
• 함수자 K와 그 변형 K̄를 사용하여 L×H의 반대원소를 K(H)와 K̄(H)의 반대원소와 연결한다. 특히 가환성과 코가환성의 경우에 중점을 둔다.
• 구야-파퀘의 영감을 얻어 L×G의 코곱에 대한 q-변형을 도입함으로써 색칠 다항식의 q-해석을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 K(H)가 H의 반대원소를 보존하지 않을 경우, 하다르드 곱 L×H에 대한 취소-없는 반대원소 공식을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 초그래프의 무방향 정점 방향화는 반대원소 공식 유도와 스탠리의 (-1)-색칠 정리 일반화에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 순열에 대해 색칠 유사 다항식을 정의할 수 있으며, 이들의 -1에서의 평가는 무엇을 세는가?
• RQ4 L×G의 코곱에 대한 q-변형은 q-해석의 색칠 다항식과 반대원소 공식과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 어떤 기하학적 또는 다면체적 구조(예: 네스토헤드론)가 초그래프 호프 모나드의 반대원소 정보를 암시하는가?

주요 결과

• 선형화된 호프 모나드 H에 대해 하다르드 곱 L×H에 대한 취소-없고 다중도-없는 반대원소 공식이 확립되었다.
• K(H)의 반대원소는 L×H의 반대원소로부터 유도되며, 이는 조합론적 호프 대수에서 새로운 계산 프레임워크를 제공한다.
• 가환성과 코가환성을 만족하는 H의 경우, 초그래프의 호프 모나드 HG는 모든 이러한 H의 반대원소를 계산할 수 있는 보편적 구조로 기능한다.
• 순열에 대한 색칠 다항식이 도입되었으며, 이는 주어진 패턴을 만족하는 증가 수열을 세는 데 사용되며, -1에서의 평가는 특정한 무방향 정점 방향화의 부호가 붙은 수를 제공한다.
• -1에서의 색칠 다항식 평가는 초그래프 설정에서 스탠리의 (-1)-색칠 정리를 복원하며, 그래프의 경우로 일반화된다.
• 논문은 q-변형된 반대원소 공식과 초그래프 기반 네스토헤드론을 통한 기하적 해석을 위한 기초를 마련하였으며, J. Machacek와의 후속 논문에서 다룰 예정이다.