[논문 리뷰] Cancellation properties in ideal systems: an $\boldsymbol{e.a.b.}$ not $\boldsymbol{a.b.}$ star operation

Marco Fontana, K. Alan Loper외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 11.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정수환 위의 별 연산(star operations)에 대해 Gilmer의 e.a.b. (endlich arithmetisch brauchbar) 취소 조건이 Krull의 a.b. (arithmetisch brauchbar) 조건보다 엄밀히 약한 것을 보여준다. 이전 예시에서 유래한 구조를 수정하여, 저자들은 e.a.b. 취소 조건을 만족하지만 a.b. 취소 조건을 위반하는 별 연산을 제시함으로써, 두 조건이 일반적으로 동치가 아님을 증명한다.

ABSTRACT

We show that Krull's exttt{a.b.} cancellation condition is a properly stronger condition than Gilmer's exttt{e.a.b.} cancellation condition for star operations.

연구 동기 및 목표

• 다중 이상 이론에서 두 취소 조건인 Krull의 a.b. 조건과 Gilmer의 e.a.b. 조건 간의 논리적 관계를 명확히 하는 것.
• 이전 문헌에서 e.a.b. 조건이 별 연산에 대해 a.b. 조건을 함의할 수 있다는 암시적인 혼동을 해결하는 것.
• e.a.b. 조건이 a.b. 조건을 함의하지 않는다는 반례를 구성함으로써, 두 조건 간의 비동치성을 입증하는 것.
• 일부 비노에터리안 도메인에서 $t$-연산과 관련된 별 연산이 e.a.b. 조건을 완전히 반영하지 못함을 보여주는 것.
• 특정 $t$-연산과는 다르게 e.a.b. 조건을 만족하지만 a.b. 조건을 위반하는 새로운 별 연산 간의 차이를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 비노에터리안 UFD $D = k[X_1,X_2,...]_N$ 를 최대 이상수 $N = (X_1,X_2,...)$ 에서 국소화하여 구성한다.
• 분수 이상들로 생성되는 집합 $\mathcal{J}$ 를 정의한다: $x F^t$, $y M$, $z M^2$ ($x,y,z \in K \setminus \{0\}$, $F \in \boldsymbol{f}(D)$).
• $\mathcal{J}$ 를 이용해 별 연산 $\ast$ 를 정의한다: $E^\ast = \bigcap \{ J \in \mathcal{J} \mid J \supseteq E \}$.
• 특정 $F \in \boldsymbol{f}(D)$ 에 대해 $F^t = D$ 이지만 $F^\ast = D$ 가 아닌 경우, 예를 들어 $I = (X_i,X_j)$ 에 대해 $I^\ast = M$ 이므로 $F^\ast = F^t$ 가 성립하지 않음을 증명한다.
• Bézout 도메인의 성질을 활용하여 $\mathrm{Kr}(D,b)$ 의 $b$-Kronecker 함수환을 이용해 $\ast$ 에서 이상의 행동을 분석한다.
• 모든 포함관계 $(FG)^\ast \subseteq (FH)^\ast$ 가 성립할 경우 $G^\ast \subseteq H^\ast$ 가 성립함을 보여 $\ast$ 가 e.a.b. 임을 증명하기 위해 모순을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수환 위의 별 연산에 대해 Gilmer의 e.a.b. 취소 조건은 Krull의 a.b. 취소 조건보다 엄밀히 약한가?
• RQ2 별 연산이 a.b. 조건을 만족하지 않지만 e.a.b. 조건은 만족시킬 수 있는가?
• RQ3 $t$-연산은 비노에터리안 도메인에서 e.a.b. 성질을 완전히 반영하는가?
• RQ4 특정 $F \in \boldsymbol{f}(D)$ 에 대해 $F^t = D$ 이지만 $F^\ast = F^t$ 가 성립하지 않는 별 연산을 구성할 수 있는가?
• RQ5 특정 도메인에서 $I = (X_i,X_j)$ 이고 $I^t = D$ 이지만 $I^\ast = M$ 이면, 이는 $\ast$ 가 $t$-유사가 아님을 보여주는가?

주요 결과

• 논문에서 구성된 별 연산 $\ast$ 는 e.a.b. 조건을 만족하지만 a.b. 조건은 위반한다.
• $i \neq j$ 인 $I = (X_i,X_j)$ 에 대해 $I^\ast = M$ 이지만 $I^t = D$ 이므로, $\boldsymbol{f}(D)$ 의 일부 $F$ 에 대해 $F^\ast \neq F^t$ 임을 증명한다.
• $\ast$ 는 임의의 $F,G,H \in \boldsymbol{f}(D)$ 에 대해 $(FG)^\ast \subseteq (FH)^\ast$ 이면 $G^\ast \subseteq H^\ast$ 가 성립하므로 e.a.b. 이다.
• $\ast$ 는 a.b. 가 아니며, $\boldsymbol{F}(D)$ 의 일부 $F,G,H$ 에 대해 $(FG)^\ast \subseteq (FH)^\ast$ 이지만 $G^\ast \not\subseteq H^\ast$ 가 성립함을 보여, Kronecker 함수환에서의 모순을 통해 이를 입증한다.
• 모순은 주어진 주 이상수 $\mathcal{H}$ 에 대해 $M\mathrm{Kr}(D,b) \subseteq \mathcal{H}$ 라고 가정했을 때 발생하며, 이는 $\varphi$ 가 유한 개의 미지수만 포함한다면 모든 $n$ 에 대해 $X_n \in \varphi\mathrm{Kr}(D,b)$ 가 되는 것을 의미한다. 그러나 이는 불가능하다.
• 이 구성은 e.a.b. 조건이 a.b. 조건보다 엄밀히 약하다는 것을 확인하며, 다중 이상 이론의 기초적 질문을 해결한다.