[논문 리뷰] Canonical diffusions on the pattern spaces of aperiodic Delone sets

Patricia Alonso Ruiz, Michael Hinz외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 26.

Quasicrystal Structures and Properties참고 문헌 67인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한 국소 복잡도를 갖는 비정현적이고 반복적인 델로네 집합의 패턴 공간 위에서의 정준 확산 과정을 도입하고 연구한다. 고유한 소볼레프 공간과 딜레흐레 형식의 새로운 구성 방법을 사용하여, 자기수반 라플라스 연산자를 갖는 펠러 확산 과정의 존재를 증명하고, 유니터리 셰로딩거 반군을 도출하며, 조화 함수에 대한 리우빌 및 헬름홀츠-헤지 정리들을 유도한다.

ABSTRACT

We consider pattern spaces of aperiodic and repetitive Delone sets of finite local complexity. These spaces are compact metric spaces and constitute a special class of foliated spaces. We define new Sobolev spaces with respect to the unique invariant measure and prove the existence of the unitary Schrödinger semigroup, which in physics terms describe the evolution of phasons. We define and study natural leafwise diffusion processes on these pattern spaces. These processes have Feller, but lack strong Feller and hypercontractivity properties, and heat kernels do not exist. The associated Dirichlet forms are regular, strongly local, irreducible and recurrent, but not strictly local. For harmonic functions we prove new Liouville and Helmholtz-Hodge type theorems.

연구 동기 및 목표

• 비정현적이고 반복적인 델로네 집합의 패턴 공간 위에서 자연스러운 확산 과정을 정의하고 엄밀히 구성하는 것.
• 이러한 층상 공간에 대해 유일한 불변 측도의 존재를 확립하고, 관련된 소볼레프 공간을 정의하는 것.
• 자기수반 라플라스 연산자와 관련된 유니터리 셰로딩거 반군의 존재를 증명하여, 퀀트크리스탈 내에서의 파손 운동에 관련된 것.
• 관련된 딜레흐레 형식의 확률적 및 스펙트럼적 성질을 분석하며, 비가역성과 재귀성을 포함한다.
• 이러한 패턴 공간 위에서 조화 함수에 대한 리우빌 및 헬름홀츠-헤지 유형의 정리를 도출하는 것.

제안 방법

• 비정현적이고 반복적인 델로네 집합의 유한 국소 복잡도를 갖는 패턴 공간을 컴act한 메트릭 공간으로 정의한다.
• 유일한 $\mathbb{R}^d$-불변 확률 측도 $\mu$ 에 대해 $\mathcal{W}^{k,2}(\Omega,\mu)$ 라는 정준 소볼레프 공간을 구성한다.
• 연속 함수 위에 Feller 반군 $ (T_t)_{t \geq 0} $ 을 정의하고, 그 생성자 $ \mathcal{L}_{C(\Omega)} $ 를 식별한다.
• Feller 반군을 $ L^2(\Omega,\mu) $ 에서 강한 연속 반군 $ (P_t)_{t>0} $ 으로 확장하며, 그 생성자 $ \mathcal{L} $ 이 자기수반임을 증명한다.
• 정의역 $ \mathcal{D}(\mathcal{E}) $ 에서 딜레흐레 형식 $ \mathcal{E} $ 를 정의하고, 이것이 정규적이고 강한 국소적이며, 비가역적이고 재귀적임을 증명한다.
• 헤지 스타 연산자와 섬유별 쌍대성을 사용하여 일차원 패턴에 대해 헬름홀츠-헤지 분해를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정현적 델로네 집합의 패턴 공간 위에 자연스러운 확산 과정을 엄밀히 정의할 수 있는가?
• RQ2 이러한 패턴 공간 위에서 관련된 라플라스 연산자와 딜레흐레 형식의 스펙트럼적 및 확률적 성질은 무엇인가?
• RQ3 이러한 패턴 공간 위의 조화 함수는 리우빌 유형의 정리를 만족하는가? 그 구조는 어떠한가?
• RQ4 강한 펠러 성질 및 초수렴성의 부재는 열핵과 전이 밀도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 역동 스펙트럼은 확산 과정의 에르고딕성과 스펙트럼적 성질을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 패턴 공간 위의 정준 확산 과정은 펠러이지만 강한 펠러는 아니며, 전이 밀도의 부재로 인해 열핵이 존재하지 않는다.
• 딜레흐레 형식 $ \mathcal{E} $ 는 정규적이고 강한 국소적이며, 비가역적이고 재귀적이나, 엄밀한 국소성은 아니며, 이는 층상 공간의 특이한 구조를 반영한다.
• 자기수반 라플라스 연산자 $ \mathcal{L} $ 은 유니터리 셰로딩거 반군 $ e^{i\mathcal{L}} $ 을 생성하며, 이는 퀀트크리스탈 내에서의 파손 운동에 대한 수학적 기초를 제공한다.
• 리우빌 정리가 성립한다: 유계 조화 함수는 상수이며, 유한 에너지 조화 함수는 $ \mu $-거의곳군에서 상수이다.
• 일차원 패턴의 경우, 헤지 스타 연산자 $ \star_\omega $ 를 통해 $ L^2 $-함수들이 정확한 성분과 코정확한 성분으로 분해되는 헬름홀츠-헤지 분해가 성립한다.
• 코프만 연산자 $ \{U_{\vec{t}}\} $ 의 역동 스펙트럼은 순수 이산이며, $ \mathbb{R}^d $-작용의 에르고딕성은 모든 고유값 $ \vec{\alpha} $ 에 대해 $ \langle \vec{\tau}, \vec{\alpha} \rangle \notin \mathbb{Z} $ 라는 조건으로 특성화된다.