[논문 리뷰] Canonical embedded and non-embedded resolution of singularities for excellent two-dimensional schemes

Vincent Cossart, Uwe Jannsen외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 05. 13.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 50인용 수 65

한 줄 요약

이 논문은 정규화된 중심을 포함하는 특이점 집합 안에서의 블로우업을 사용하여 우수한 두 차원 스킴에 대해 표준적이고 함자적인 임베딩된 및 비임베딩된 특이점 해소를 수립한다. 핵심 기여는 자동형사상과 국소화와 호환되는 완전히 함자적이고 표준적인 해소 과정으로, 비환원 스킴과 정규 교차를 이루는 경계 디바이저로까지 확장된다.

ABSTRACT

We prove the existence of resolution of singularities for arbitrary (not necessarily reduced or irreducible) excellent two-dimensional schemes, via permissible blow-ups. The resolution is canonical, and functorial with respect to automorphisms or etale or Zariski localizations. We treat the embedded case as well as the non-embedded case, with or without a boundary, and we relate the diferent versions. In the non-embedded case, a boundary is a collection of locally principal closed subschemes. Our main tools are the stratifications by Hilbert-Samuel functions and the characteristic polyhedra introduced by H. Hironaka. In an appendix we show that the standard method used in characteristic zero - the theory of maximal contact - does not work for surfaces in positive characteristic (the counterexamples are hypersurfaces in affine threespace and work over any field of positive characteristic). In this new version, we treat the case of locally noetherian but not necessarily noetherian schemes in an appropriate way. Here one does not have a finite resolution sequence, but still a canonical resolution morphism by glueing. The same techniques allow to treat algebraic spaces and stacks.

연구 동기 및 목표

• 차원이 2 이하인 환원된 우수한 노에테리안 스킴에 대해 표준적이고 함자적인 특이점 해소를 수립하기 위해.
• 임베딩된 경우와 경계 디바이저가 있는 임베딩된 경우로 해소를 확장하여 자동형사상과 국소화와의 호환성을 보장하기 위해.
• 환원되지 않은 스킴와 반드시 노에테리안이 아니더라도 국소적으로 노에테리안인 스킴로 해소를 일반화하기 위해.
• 표현 가능한 스킴와 함자성에 기반하여 차원 ≤2인 대칭 스택에 대한 해소 프레임워크를 제공하기 위해.
• 해소 과정이 정규 교차 조건과 엄격 전이 성질을 포함한 기하학적 조건을 유지하도록 보장하기 위해.

제안 방법

• 특이점 집합 $ D_i o (X_i)_{\text{sing}} $ 에 따라 허용 중심을 따라 유한한 블로우업의 수열을 구성하며, 여기서 $ D_i $ 는 정규이고 $ X_i $ 는 $ D_i $ 에 대해 정상적으로 평탄하다.
• 블로우업의 보편 성질을 사용하여 함자성과 사상, 특히 국소화와 자동형사상과의 호환성을 보장한다.
• 임베딩된 경우의 디바이저의 엄격 전이 및 완전 전이를 정의하여, 각 블로우업 이후에도 $ B' $ 이 단순 정규 교차 디바이저로 유지되도록 보장한다.
• 경계 디바이저 $ B $ 와의 정규 교차 조건을 해소 과정 全 과정에서 유지하기 위해 $ B_i $-허용 중심을 도입한다.
• 국소적으로 노에테리안인 스킴에 대해 노에테리안 열린 부분집합으로 덮고, 유일성에 의해 국소 해소를 붙임으로써 적용한다.
• 표현 가능한 스킴와 기저 변경을 사용하여 군족 표현을 통해 스킴 커버에서의 해소의 함자성을 응용하여 스택으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 우수한 두 차원 스킴에 대해 자동형사상과 국소화와 호환되는 표준적이고 함자적인 특이점 해소를 구성할 수 있는가?
• RQ2 경계 디바이저 $ B $ 가 있을 때, 엄격 전이된 $ X $ 가 $ B $ 와 횡단적으로 만나도록 임베딩 해소를 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ3 스킴 $ X $ 가 환원되지 않았을 경우 해소 과정에서 어떤 수정이 필요한가? 정상 평탄성은 어떻게 유지할 수 있는가?
• RQ4 해소 과정을 반드시 노에테리안이 아니더라도 국소적으로 노에테리안인 스킴로 확장할 수 있는가?
• RQ5 표현 가능한 스킴와 군족 표현을 통해 차원 ≤2인 대칭 스택으로 표준 해소 과정을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 특이점 집합 내 허용 중심을 따라 유한한 블로우업의 수열은 임의의 환원된 우수한 두 차원 스킴을 정규 스킴으로 해소한다.
• 해소 과정은 함자적이다: 자동형사상과 국소화와 교환되며, 열린 부분집합 위에서의 해소의 역상은 그 부분집합의 해소와 일치한다.
• 임베딩된 경우, $ X' $ 과 $ Z' $ 는 모두 정규가 되며, 사상 $ \rho_X $ 와 $ \rho_Z $ 는 사영적이고 전사적이며 $ X_{\text{sing}} $ 를 제외한 곳에서 위상동형사상이다.
• 경계 디바이저 $ B $ 가 존재할 경우, 완전 전이 $ B' $ 는 여전히 단순 정규 교차 디바이저이며, $ X' $ 과 $ B' $ 는 횡단적으로 만난다.
• 환원되지 않은 스킴의 경우, $ (X')_{\text{red}} $ 는 정규이자 정상적으로 평탄하며, $ X' $ 는 그 환원 부분스킴에 대해 정상적으로 평탄하다.
• 해소 과정은 차원 ≤2인 대칭 스택으로까지 확장된다: 만약 $ X \to \frak{X} $ 가 표현 가능하고 평탄하며 기하학적으로 정규적인 커버이며 $ X $ 가 우수하고 차원 ≤2이면, $ \frak{X}' \to \frak{X} $ 는 올바르고 전사적이며 정규 해소이다.