[논문 리뷰] Canonical equivalence of quantum systems, multimode squeezed states and Robertson relation

D. A. Trifonov|ArXiv.org|1998. 01. 09.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 시간에 의존하는 캐논ical 변환(CT)을 통해 N차원 양자 시스템의 표준형 등가성을 수립하며, 임의의 두 해밀토니안이 이러한 변환을 통해 관련지을 수 있음을 증명한다. 선형 시간에 의존하는 CT가 불확실성 행렬을 대각화함을 보이며, 다모드 압축 코herent 상태가 로버트슨 불확실성 관계를 유일하게 최소화함을 보여주며, 각 모드에서 광자 수가 동일한 다모드 양자 상태에 대해 심플렉틱 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

It is shown that any two Hamiltonians H(t) and H'(t) of N dimensional quantum systems can be related by means of time-dependent canonical transformations (CT). The dynamical symmetry group of system with Hamiltonian H(t) coincides with the invariance group of H(t). Quadratic Hamiltonians can be diagonalized by means of linear time-dependent CT. The diagonalization can be explicitly carried out in the case of stationary and some nonstationary quadratic H. Linear CT can diagonalize the uncertainty matrix σ(ρ) for canonical variables p_k, q_j in any state ρ, i.e., σ(ρ) is symplectically congruent to a diagonal uncertainty matrix. For multimode squeezed canonical coherent states (CCS) and squeezed Fock states with equal photon numbers in each mode σis symplectic itself. It is proved that the multimode Robertson uncertainty relation is minimized only in squeezed CCS.

연구 동기 및 목표

• 시간에 의존하는 임의의 N차원 양자 해밀토니안을 시간에 의존하는 캐논ical 변환을 통해 연결하는 일반적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 임의의 양자 상태에서 캐논ical 변수의 불확실성 행렬을 대각화하는 데 있어 선형 캐논ical 변환의 역할을 조사하기 위해.
• 해밀토니안의 불변군을 규명하여 양자 시스템의 동역학적 대칭성 구조를 명확히 하기 위해.
• 다모드 로버트슨 불확실성 관계가 최소화되는 조건을 규명하고, 특히 다모드 압축 코herent 상태와의 관계를 밝히기 위해.
• 각 모드에서 광자 수가 동일한 다모드 압축 포크 상태에 대해 불확실성 행렬의 심플렉틱 성질을 분석하기 위해.

제안 방법

• 시간에 의존하는 캐논ical 변환(CT)을 사용하여 임의의 두 N차원 양자 해밀토니안 H(t)와 H'(t)를 연결함으로써 캐논ical 등가성을 수립한다.
• 선형 시간에 의존하는 CT를 적용하여 이차 해밀토니안을 대각화하며, 특히 정적 및 특정 비정적 경우에 대해 적용한다.
• 심플렉틱 기하학을 활용하여 캐논ical 변수의 불확실성 행렬 σ(ρ)가 선형 CT를 통해 대각행렬과 심플렉틱 동치임을 보여준다.
• 다모드 압축 코herent 상태 및 동일 광자 수를 가진 압축 포크 상태의 경우, 불확실성 행렬 σ가 자체적으로 심플렉틱 행렬임을 보여준다.
• 다모드 로버트슨 불확실성 관계를 유도하고, 이것이 다모드 압축 코herent 상태에서만 최소화됨을 증명한다.
• 해밀토니안의 불변군을 사용하여 시스템의 동역학적 대칭군을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 두 N차원 양자 해밀토니안은 시간에 의존하는 캐논ical 변환을 통해 연결될 수 있는가? 이는 시스템의 등가성에 대해 어떤 의미를 갖는가?
• RQ2 선형 시간에 의존하는 캐논ical 변환은 임의의 양자 상태에서 불확실성 행렬의 대각화에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 다모드 로버트슨 불확실성 관계가 최소화되는 조건은 무엇이며, 어떤 양자 상태가 이를 달성하는가?
• RQ4 다모드 압축 코herent 상태 및 동일 광자 수를 가진 압축 포크 상태에 대해 불확실성 행렬의 심플렉틱 구조는 무엇인가?
• RQ5 해밀토니안의 불변군은 해당 양자 시스템의 동역학적 대칭군과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 시간에 의존하는 해밀토니안 H(t)와 H'(t)를 가진 임의의 두 N차원 양자 시스템은 시간에 의존하는 캐논ical 변환을 통해 캐논ical 등가성을 가진다.
• 이차 해밀토니안은 선형 시간에 의존하는 캐논ical 변환을 통해 명시적으로 대각화될 수 있으며, 특히 정적 및 일부 비정적 경우에 대해 적용 가능하다.
• 임의의 상태 ρ에 대해 캐논ical 변수의 불확실성 행렬 σ(ρ)는 선형 캐논ical 변환을 통해 대각행렬과 심플렉틱 동치이다.
• 다모드 압축 코herent 상태 및 동일 광자 수를 가진 압축 포크 상태의 경우, 불확실성 행렬 σ는 자체적으로 심플렉틱 행렬이다.
• 다모드 로버트슨 불확실성 관계는 다모드 압축 코herent 상태에서만 최소화되며, 다른 압축 상태에서는 그렇지 않다.
• 해밀토니안 H(t)를 가진 시스템의 동역학적 대칭군은 H(t)의 불변군과 정확히 일치하며, 대칭성과 해밀토니안 구조 사이의 직접적인 연결 고리를 확립한다.