[논문 리뷰] Canonical height functions defined on the affine plane associated with regular polynomial automorphisms

Shu Kawaguchi|arXiv (Cornell University)|2004. 05. 01.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 수체 K 위에서 동역학적 차수 δ ≥ 2인 정규 다항형자명사의 아핀 평면 $\mathbb{A}^2$에 대한 캐논리컬 높이 함수를 구축한다. 이러한 높이 함수는 노스코트 유한성 성질을 만족하며, 정확히 f-주기점에서만 0이 된다. 응용으로, 무한한 f-궤도에서 높이가 유계인 점의 수에 대한 상계가 제시된다.

ABSTRACT

Let $f: \mathbb{A}^2 o \mathbb{A}^2$ be a polynomial automorphism of dynamical degree $\delta \geq 2$ over a number field $K$. (This is equivalent to say that $f$ is a polynomial automorphism that is not triangularizable.) Then we construct canonical height functions defined on $\mathbb{A}^2(\bar{K})$ associated with $f$. These functions satisfy the Northcott finiteness property, and an $\bar{K}$-valued point on $\mathbb{A}^2(\bar{K})$ is $f$-periodic if and only if its height is zero. As an application of canonical height functions, we give an estimate on the number of points with bounded height in an infinite $f$-orbit.

연구 동기 및 목표

• 수체 K 위에서 동역학적 차수 δ ≥ 2인 다항형자명사에 대해 $\mathbb{A}^2(\bar{K})$에서 캐논리컬 높이 함수를 정의하는 것.
• 이 높이 함수가 노스코트 유한성 성질을 만족함을 확립하는 것.
• f-주기점이 정확히 높이가 0인 점들임을 특성화하는 것.
• 높이 함수를 활용하여 무한한 f-궤도에서 높이가 유계인 점의 수를 추정하는 것.

제안 방법

• 수체 K 위에서 아핀 평면 $\mathbb{A}^2$에서 정규 다항형자명사의 동역학을 통해 캐논리컬 높이 함수를 정의하는 것.
• 동역학적 차수 δ ≥ 2를 활용하여 삼각화 가능하지 않음과 비자명한 동역학을 보장하는 것.
• f 작용에 대해 불변이면서 노스코트 유형의 유한성 조건을 만족하는 높이 함수를 구성하는 것.
• 높이가 0이 되는 것이 정확히 f-주기점임을 증명하는 것.
• 높이 함수를 활용하여 무한한 f-궤도에서 높이가 유계인 점의 수를 유계화하는 것.
• 캐논리컬 높이의 성질을 이용하여 산술 동역학에서의 정량적 추정을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 동역학적 차수 δ ≥ 2인 다항형자명사에 대해 $\mathbb{A}^2$에서 캐논리컬 높이 함수를 정의할 수 있는가?
• RQ2 이러한 높이 함수는 특히 유한성과 주기성 측면에서 어떤 동역학적 성질을 만족하는가?
• RQ3 캐논리컬 높이 함수를 사용하여 무한한 f-궤도에서 높이가 유계인 점의 수를 추정할 수 있는가?
• RQ4 f-주기점은 높이 측면에서 정확히 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ5 캐논리컬 높이 함수는 f의 반복 작용에 대해 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 동역학적 차수 δ ≥ 2인 다항형자명사에 대해 $\mathbb{A}^2(\bar{K})$에서 캐논리컬 높이 함수가 구성되었으며, 이는 f에 대해 불변임을 보장한다.
• 높이 함수는 노스코트 유한성 성질을 만족하여, 높이가 유계인 점이 유한 개임을 의미한다.
• $\mathbb{A}^2(\bar{K})$의 점이 f-주기점임은 정확히 그 캐논리컬 높이가 0일 때에만 성립한다.
• 이 구성은 무한한 f-궤도에서 높이가 유계인 점의 수를 추정하는 도구를 제공한다.
• 결과는 간단한 경우를 제외한 비삼각화 가능 다항형자명사에 특별히 적용된다.
• 캐논리컬 높이 함수는 잘 정의되어 있으며, f의 동역학에 대해 일관되게 행동한다.