[논문 리뷰] Canonical heights, invariant currents, and dynamical systems of morphisms associated with line bundles

Shu Kawaguchi|ArXiv.org|2004. 05. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 18인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 수체 위의 선다발과 관련된 다중 사상의 동역학계에서 부분다양체에 대한 표준 높이를 구축하며, Call–Silverman와 Zhang의 단일 사상계에 대한 작업을 일반화한다. degree-d 스케일링 성질을 만족하는 유일한 높이 함수를 설정하고, 온건한 조건 하에 소고도 점들의 유한성을 증명하며, K3 곡면과 사영 공간으로의 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We construct canonical heights of subvarieties for dynamical system of several morphisms associated with line bundles defined over a number field, and study some of their properties. We also construct invariant currents for such systems over $\mathbb{C}$.

연구 동기 및 목표

• 수체 위의 사영다양체에서 단일 사상에서의 표준 높이 구성 이론을 k개의 사상으로 구성된 시스템으로 일반화한다.
• Wheler의 K3 곡면과 기타 특수 가닥을 포함한 K3 곡면의 부분다양체로 표준 높이 이론을 확장한다.
• k개의 사상에 의한 작용 하에서 스케일링 항등식을 만족하는 표준 높이 함수의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 이러한 시스템에서 유한 차수와 소고도를 가진 순환점들의 유한성을 증명한다.
• 복소 사영다양체 위에서 이러한 시스템에 대해 불변 (1,1)-측도를 구성하며, 그린 측도 이론을 확장한다.

제안 방법

• 수체 K 위에서 선다발 L의 차수 d > k를 만족하는 조건 ⨂_{i=1}^k f_i^*(L) ≅ L^{ ensor d} 를 만족하는 k개의 사상으로 구성된 동역학계를 정의한다.
• 모든 x ∈ X(overline{K}) 에 대해 ∑_{i=1}^k ĥ(f_i(x)) = d·ĥ(x) 와 ĥ = h_L + O(1) 을 만족하는 표준 높이 함수 ĥ_{L,{f₁,…,fₖ}}: X(overline{K}) → ℝ 를 구성한다.
• 비음수 행렬과 Perron–Frobenius 유형 고유값 이론을 이용한 선형대수적 방법을 통해 표준 높이의 유일성을 증명한다.
• L가 앰플리일 경우, 사상들이 전사적이라면 ĥ(x) ≥ 0 이고, ĥ(x) = 0 이 되는 것은 x의 전방 궤도가 유한함을 의미한다.
• 특수화를 통한 부분다양체로의 높이 확장과 Northcott의 유한성 정리를 이용하여 소고도 점들을 유한하게 제한한다.
• 사상의 역학과 양의 측도 이론을 이용하여 복소수 위에서 불변 (1,1)-측도를 구성하며, 그린 측도를 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단일 내단사상이 아닌 다수의 사상으로 구성된 동역학계에서 부분다양체에 대한 표준 높이를 구성할 수 있는가?
• RQ2 k개의 사상에 의한 공동 작용 하에서 표준 높이 함수는 스케일링 항등식을 만족하며, 그 유일성은 어떻게 보장되는가?
• RQ3 언제 표준 높이가 음이 아니며, 언제는 0이 되는가 (유한 궤도를 의미함)?
• RQ4 Wheler의 K3 곡면과 같은 다중 대칭성을 가진 K3 곡면으로 이 이론을 확장할 수 있는가?
• RQ5 이러한 다중사상 시스템에 대해 복소수 위에서 불변 측도가 존재하는가, 그리고 그린 측도와는 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• 수체 위의 선다발 L의 차수 d > k를 가진 k개의 사상으로 구성된 동역학계에서 표준 높이 함수가 유일하게 존재한다.
• 모든 x ∈ X(overline{K}) 에 대해 ∑_{i=1}^k ĥ(f_i(x)) = d·ĥ(x) 를 만족하며, ĥ = h_L + O(1) 이다.
• L가 앰플리일 경우, 모든 x에 대해 ĥ(x) ≥ 0 이고, ĥ(x) = 0 이 되는 것은 {f₁,…,fₖ} 에 의한 x의 전방 궤도가 유한함을 의미한다.
• 정규 X이고 L가 앰플리일 경우, 전사적 사상이면 임의의 부분다양체 Y ⊂ X_{overline{K}} 에 대해 ĥ(Y) ≥ 0 인 표준 높이가 정의된다.
• Wheler의 K3 곡면 (S;σ₁,σ₂) 에서의 표준 높이는 Silverman의 표준 높이와 상수배 (1+√3) 로 일치한다.
• 유한 차수를 가진 K-유리점 중 소고도를 가진 점들의 수는 Northcott의 정리와 행렬 고유값 분석을 통해 유한함을 보였다.