[논문 리뷰] Canonical orientations for moduli spaces of $G_2$-instantons with gauge group SU(m) or U(m)

Dominic Joyce, Markus Upmeier|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 06.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 28인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트한 $G_2$-다양체 위의 구조군이 $Σμ(m)$ 또는 $Σμ(m)$인 $G_2$-instant론의 모듈리 공간에 대한 표준적인 방향을 설정한다. 이를 위해 디랙 연산자의 행렬식과 관련된 방향 이중_bundle의 표준적 자명화를 구성한다. 고정된 디랙 행렬식의 방향과 다양체 위의 플래그 구조를 사용하여, $G_2$-instant론의 모듈리 공간에 표준적인 방향을 유도함으로써 도널드슨–세갈 계획에서 부호가 있는 수세기 불변량의 정의를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Suppose $(X, g)$ is a compact, spin Riemannian 7-manifold, with Dirac operator $D$. Let $G$ be SU$(m)$ or U$(m)$, and $E o X$ be a rank $m$ complex bundle with $G$-structure. Write ${\mathcal B}_E$ for the infinite-dimensional moduli space of connections on $E$, modulo gauge. There is a natural principal ${\mathbb Z}_2$-bundle $O^D_E o{\mathcal B}_E$ parametrizing orientations of det$\,D_{{ m Ad }A}$ for twisted elliptic operators $D_{{ m Ad }A}$ at each $[A]$ in ${\mathcal B}_E$. A theorem of Walpuski shows $O^D_E$ is trivializable. We prove that if we choose an orientation for det$\,D$, and a flag structure on X in the sense of Joyce arXiv:1610.09836, then we can define canonical trivializations of $O^D_E$ for all such bundles $E o X$, satisfying natural compatibilities. Now let $(X,φ,g)$ be a compact $G_2$-manifold, with d$(*φ)=0$. Then we can consider moduli spaces ${\mathcal M}_E^{G_2}$ of $G_2$-instantons on $E o X$, which are smooth manifolds under suitable transversality conditions, and derived manifolds in general, with ${\mathcal M}_E^{G_2}\subset{\mathcal B}_E$. The restriction of $O^D_E$ to ${\mathcal M}_E^{G_2}$ is the ${\mathbb Z}_2$-bundle of orientations on ${\mathcal M}_E^{G_2}$. Thus, our theorem induces canonical orientations on all such $G_2$-instanton moduli spaces ${\mathcal M}_E^{G_2}$. This contributes to the Donaldson-Segal programme arXiv:0902.3239, which proposes defining enumerative invariants of $G_2$-manifolds $(X,φ,g)$ by counting moduli spaces ${\mathcal M}_E^{G_2}$, with signs depending on a choice of orientation. This paper is a sequel to Joyce-Tanaka-Upmeier arXiv:1811.01096, which develops the general theory of orientations on gauge-theoretic moduli spaces, and gives applications in dimensions 3,4,5 and 6. A third paper Cao-Gross-Joyce arXiv:1811.09658 studies orientations on moduli spaces in dimension 8.

연구 동기 및 목표

• 유니터리 또는 특수 유니터리 게이지 군을 가진 $G_2$-instant론의 모듈리 공간에 대해 일관된 방향을 선택하는 문제를 해결하기 위해.
• 이러한 모듈리 공간에 대해 임의의 선택에 의존하지 않는 기하학적으로 자연스러운 표준적 방향을 제공하기 위해.
• 도널드슨–세갈 계획을 지원하기 위해 $G_2$-다양체의 부호가 있는 수세기 불변량을 구성할 수 있도록 하기 위해.
• 낮은 차원의 게이지 이론에서의 표준적 방향 이론을 7차원으로 확장하여, 특히 $G_2$-instant론에 대해 적용하기 위해.
• 유도 기하학과 게이지이론적 모듈리 문제에서의 잘림 편의 정리와 호환되는 프레임워크를 수립하기 위해.

제안 방법

• 기울인 디랙 연산자 $\not{\text{D}}^{g}_{\mathop{\rm Ad}A}$의 행렬식 선다발을 사용하여 연결의 모듈리 공간 ${\mathcal{B}}_E$ 위에 방향 이중_bundle $O^{ ot{\text{D}}^g}_E$를 구성한다.
• 고정된 $\mathop{\rm det}\not{\text{D}}^g$의 방향과 스피너 7-다양체 $X$ 위의 플래그 구조를 사용하여 $O^{ ot{\text{D}}^g}_E$의 표준적 자명화를 정의한다.
• 잘림 정리와 방향 등위사상의 함의성(functoriality)을 적용하여 서로 다른 번들의 및 다양체들 사이에서의 일致성을 확보한다.
• 전체 모듈리 공간 ${\mathcal{B}}_E$에서의 표준적 자명화를 제약을 통해 $G_2$-instanton의 부분공간 ${\mathcal{M}}_E^{G_2}$로 이전한다.
• 튜브형 이웃, 스피너 미분동형사상, 번들 등위사상을 사용한 접합 구조를 활용하여 서로 다른 차트와 다양체들 사이의 방향을 비교한다.
• $\mathop{\rm SU}(m)$에서 $\mathop{\rm U}(m)$ 번들로의 결과 확장을 $E \mapsto E \oplus \Lambda^m E^*$를 통해 수행하며, 표준적 방향 성질을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 구조군이 $\mathop{\rm SU}(m)$ 또는 $\mathop{\rm U}(m)$인 $G_2$-instant론의 모듈리 공간에 대해 표준적이고 기하학적으로 자연스러운 방향을 정의할 수 있는가?
• RQ2 컴팩트한 스피너 7-다양체 위에서 어떤 기하학적 자료가 디랙 연산자 행렬식과 관련된 방향 이중_bundle의 표준적 자명화를 가능하게 하는가?
• RQ3 접합 또는 잘림의 맥락에서 $G_2$-instant론 모듈리 공간의 표준적 방향은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 표준적 방향 구성은 $\mathop{\rm SU}(m)$에서 $\mathop{\rm U}(m)$ 번들로 확장될 수 있는가? 이 경우 호환성과 함의성은 어떻게 유지되는가?
• RQ5 플래그 구조는 $G_2$-instant론 모듈리 공간의 방향 선택에 대한 모순을 해결하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 고정된 $\mathop{\rm det}\not{\text{D}}^g$의 방향과 $X$ 위의 플래그 구조를 선택할 경우, 모듈리 공간 ${\mathcal{B}}_E$ 위의 방향 이중_bundle $O^{ ot{\text{D}}^g}_E$는 표준적으로 자명화된다.
• 표준적 자명화는 잘림 등위사상과 호환되어 서로 다른 번들과 다양체들 사이에서 일致성을 보장한다.
• ${\mathcal{M}}_E^{G_2}$의 부분공간인 $G_2$-instanton에 대한 표준적 방향의 제약은 각각의 이러한 모듈리 공간에 표준적 방향을 유도한다.
• ${\mathcal{M}}_E^{G_2}$ 위의 표준적 방향은 임의의 선택에 의존하지 않으며, 미분동형사상과 번들 연산에 대해 함의적이다.
• $E \mapsto E \oplus \Lambda^m E^*$를 통한 $\mathop{\rm SU}(m)$에서 $\mathop{\rm U}(m)$ 번들로의 구성은 표준적 방향 성질을 유지하면서 확장된다.
• 표준적 방향은 잘 정의된 부호가 있는 $G_2$-instanton의 수를 유도하며, $G_2$-다양체의 부호가 있는 수세기 불변량을 위한 도널드슨–세갈 계획을 지원한다.