[논문 리뷰] Canonical scale separation in two-dimensional incompressible hydrodynamics

Klas Modin, Milo Viviani|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 02.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 43인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 2차원 비압축성 옐러르 유동에서 비틀림의 표준적이고 매개변수 없는 분해를 제안한다. 이는 오직 파울슨 괄호와 해밀토니안으로부터 유도되며, 고유하게 큰 스케일 응축체($\omega_s$)와 작은 스케일 변동($\omega_r$)으로 비틀림을 분리한다. 이 방법은 크라이히난의 이중 캐스케이드를 자연스럽게 재현한다: $\omega_s$는 $k^{-3}$ 에너지 스펙트럼을 보이고, $\omega_r$는 $k^{-5/3}$에서 $k^{-1}$의 스케일링을 보이며, 앞서가는 에너지 캐스케이드와 뒤로가는 에너지 캐스케이드를 나타낸다. 이 분해는 자이틀린의 절단 모델과 헤르미트 행렬의 스펙트럼 분해로부터 자연스럽게 유도된다.

ABSTRACT

A two-dimensional inviscid incompressible fluid is governed by simple rules. Yet, to characterise its long-time behaviour is a knotty problem. The fluid evolves according to Euler's equations: a non-linear Hamiltonian system with infinitely many conservation laws. In both experiments and numerical simulations, coherent vortex structures, or blobs, emerge after an initial stage. These formations dominate the large-scale dynamics, but small scales also persist. Kraichnan describes in his classical work a forward cascade of enstrophy into smaller scales, and a backward cascade of energy into larger scales. Previous attempts to model Kraichnan's double cascade use filtering techniques that enforce separation from the outset. Here we show that Euler's equations posses an intrinsic, canonical splitting of the vorticity function. The splitting is remarkable in four ways: (i) it is defined solely via the Poisson bracket and the Hamiltonian, (ii) it characterises steady flows, (iii) without imposition it yields a separation of scales, enabling the dynamics behind Kraichnan's qualitative description, and (iv) it accounts for the "broken line" in the power law for the energy spectrum, observed in both experiments and numerical simulations. The splitting originates from Zeitlin's truncated model of Euler's equations in combination with a standard quantum-tool: the spectral decomposition of Hermitian matrices. In addition to theoretical insight, the scale separation dynamics could be used for stochastic model reduction, where small scales are modelled by multiplicative noise.

연구 동기 및 목표

• 2차원 비압축성 옐러르 유동에서의 자발적 스케일 분리 문제를 해결하고자 하며, 특히 응집된 비틀림 구조와 조각선 형태의 에너지 스펙트럼이 나타나는 이유를 설명하는 데 목적이 있다.
• 해밀토니안과 파울슨 괄호의 기하학적 구조에 기반해 매개변수 없이 수학적으로 엄밀한 방법으로 비틀림을 큰 스케일과 작은 스케일 성분으로 분해하는 데 목적이 있다.
• 크라이히난의 앞서가는 에너지 캐스케이드와 뒤로가는 에너지 캐스케이드를 기하학적 구조에 기반한 동역학적 메커니즘을 제공하고자 한다.
• 소규모 동역학을 다중선형 노이즈로 모델링함으로써 확률적 모델 단순화의 기초를 마련하고자 한다.
• 시뮬레이션과 기후역학적 유동에서 관측된 $k^{-3}$에서 $k^{-1}$으로의 전이를 설명하고자 하며, '조각선' 행동을 포착하는 표준 분해를 통해 이를 설명하고자 한다.

제안 방법

• 2차원 옐러르 방정식의 파울슨 괄호와 해밀토니안을 바탕으로, 구상 위에서의 리-파울슨 구조를 사용하여 비틀림의 표준 분해 $\omega = \omega_s + \omega_r$를 유도한다.
• 헤르미트 행렬의 스펙트럼 분해를 자이틀린의 옐러르 방정식 절단 모델에 적용하여 비틀림장의 표준 분해를 가능하게 한다.
• $\omega_s$를 스트림 함수 $\psi$의 안정자 위로 $\omega$의 수직 투영으로 정의하고, $\omega_r$를 그 여측으로 정의함으로써 에너지와 에너지의 보존을 보장한다.
• 비틀림의 진화 방정식을 리 도함수와 투영 연산자의 교환자로 유도하며, $\omega_s$는 $\dot{\omega}_s = [\Pi_\psi, \mathcal{L}_X]\omega$로 진화한다.
• 시간 분할 스킴을 사용하여 구상 위에서 스펙트럼 방법으로 분해를 수치적으로 구현하고, 에너지 및 에너지 스펙트럼을 추적한다.
• 파울슨 괄호의 은폐된 관계 $\{b, \psi\} = \Pi_\psi^\perp \Delta^{-1} \{\psi, \omega_r\}$를 사용하여 비틀림을 생성하는 벡터장 $b$를 정의함으로써 파울슨 괄호의 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 옐러르 방정식의 해밀토니안과 파울슨 괄호로부터 직접적으로 표준적이고 매개변수 없는 비틀림 분해를 도출할 수 있는가?
• RQ2 이 내재된 분해가 수치적 및 실험적 관측과 일치하는 큰 스케일 비틀림 응축체와 작은 스케일 변동을 자연스럽게 유도하는가?
• RQ3 표준 분해가 크라이히난의 예측한 바와 같이 앞서가는 에너지 캐스케이드와 뒤로가는 에너지 캐스케이드를 재현할 수 있는가?
• RQ4 결과로 얻어진 $\omega_s$와 $\omega_r$의 에너지 스펙트럼이 실험적으로 관측된 '조각선' 행동을 보이며, 각각 $k^{-3}$과 $k^{-5/3}$에서 $k^{-1}$의 기울기를 가지는가?
• RQ5 이 분해가 소규모 동역학을 다중선형 노이즈로 모델링하는 확률적 모델 단순화의 기초로 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 표준 비틀림 분해 $\omega = \omega_s + \omega_r$는 파울슨 괄호와 해밀토니안에 의해 유일하게 결정되며, 외부 매개변수나 필터링이 필요하지 않다.
• 이 분해는 동역학적으로 일관되다: $\omega_s$는 큰 스케일 비틀림 응축체로 진화하고, $\omega_r$는 작은 스케일 변동을 포착하며, 스케일 분리가 강제되지 않는다.
• 수치 시뮬레이션 결과 $\omega_s$는 이론적 예측과 일치하는 약 $k^{-3}$의 에너지 스펙트럼 기울기를 보인다.
• $\omega_r$는 $k^{-5/3}$에서 $k^{-1}$ 사이의 에너지 스펙트럼 기울기를 보이며, 2차원 난류에서의 앞서가는 에너지 캐스케이드와 일치한다.
• 시스템은 에너지의 뒤로가는 캐스케이드(에너지가 감소)와 에너지의 앞서가는 캐스케이드(에너지가 증가)를 나타내며, 크라이히난의 현상론을 확인한다.
• 에너지와 에너지가 일관되게 분리되며, $H(\omega) = H(\omega_s) - H(\omega_r)$ 및 $E(\omega) = E(\omega_s) + E(\omega_r)$로 표현되어 물리적 보존 법칙을 유지한다.