[논문 리뷰] Canonicity and normalisation for Dependent Type Theory

Kaposi, Ambrus, Huber, Simon외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 22.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 체계적 집합론(CZFu<ω)에서 증명-유관성 있는 감소성 모델을 사용하여, 누적 유니버스와 η-변환을 갖는 종속 유형 이론에 대한 정규화와 표준형성의 구성적이고 대수적인 증명을 제시한다. 감소성을 성질이 아니라 구조로 다룸으로써, 감소 관계와 혼합성 증명을 피하고, 최소한의 메타이론적 강도와 초깃론 모델과의 직접적인 연결을 달성한다.

ABSTRACT

The relationship between categorical gluing and proofs using the logical relation technique is folklore. In this paper we work out this relationship for Martin-Löf type theory and show that parametricity and canonicity arise as special cases of gluing. The input of gluing is two models of type theory and a pseudomorphism between them and the output is a displayed model over the first model. A pseudomorphism preserves the categorical structure strictly, the empty context and context extension up to isomorphism, and there are no conditions on preservation of type formers. We look at three examples of pseudomorphisms: the identity on the syntax, the interpretation into the set model and the global section functor. Gluing along these result in syntactic parametricity, semantic parametricity and canonicity, respectively.

연구 동기 및 목표

• 누적 유니버스와 η-변환을 갖는 종속 유형 이론에 대한 표준형성과 정규화를 확립하기 위해.
• 다중 유형 표현으로 인한 모호함을 피할 수 있도록, 유니버스에 대한 감소성 정의의 기술적 난이도를 극복하기 위해.
• 이전 접근 방식의 핵심 요소인 감소 관계와 혼합성 증명이 필요 없도록 제거하기 위해.
• 표준형성과 정규화를 동시에 도출할 수 있는 순수 대수적이고, 초깃론 모델 기반의 구성 방법을 제공하기 위해.
• 필요로 하는 메타이론의 강도를 가능한 한 약하게 유지하여, 대상 이론의 강도와 일치시키기 위해.

제안 방법

• 감소성이 성질이 아니라 구조로 간주되는 증명-유관성 있는 감소성 모델을 도입하여, 다중 귀납적-재귀적 정의가 명확해지도록 한다.
• 구문에 대한 구조적 귀납법을 통해 각 유형과 항에 대해 감소성 해석을 정의하며, 각 닫힌 항에 감소성 구조를 할당한다.
• 중립 항과 정규형 항 위에서 유사 프레시프 구조를 사용하여, 주어진 모델 M에서 감소성 가중치를 포함하는 컨텍스트를 확장함으로써 새로운 모델 M*를 구성한다.
• 중립형과 정규형 사이의 전단사 관계를 포착하기 위해, 구성 요소 α(반사)와 β(재구성)를 포함하는 '접합된' 모델 구조를 사용한다.
• 초깃론 모델에 이 구성법을 적용하여 표준형성과 등가 관계의 결정 가능성을 도출한다.
• 증명 이론적 강도를 최소화하기 위해 체계적 집합론(CZFu<ω)을 메타이론으로 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 감소 관계나 혼합성 증명에 의존하지 않고, 누적 유니버스와 η-변환을 갖는 종속 유형 이론에 대해 표준형성을 증명할 수 있는가?
• RQ2 어떤 항이 다수의 유형을 표현할 수 있을 경우, 유니버스에 대한 감소성을 어떻게 정의할 수 있으며, 이로 인한 모호함을 피할 수 있는가?
• RQ3 명시적인 문법적 감소 없이도, 순수 대수적이고 초깃론 모델 기반의 접근을 통해 정규화를 확립할 수 있는가?
• RQ4 최소한의 메타이론적 가정을 바탕으로, 증명-유관성 있는 감소성 모델을 사용하여 표준형성과 정규화를 동시에 달성할 수 있는가?
• RQ5 이 방법을 인도크티브 타입과 전사적 쌍을 갖는 종속 곱 유형으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 N2 유형에 대해 표준형성을 확립한다: N2 유형의 모든 닫힌 항은 0 또는 1과 논리적으로 동치이다.
• 정규화는 증명-유관성 있는 감소성 모델을 사용하여 각 항을 정규형으로 매핑하는 구성법을 통해 증명되며, 초깃론 모델에서 등가 관계의 결정 가능성이 보장된다.
• 초깃론 모델에서 등가 관계는 결정 가능하다. 이는 Norm(A)에서 αaa = αbb일 때이고, 오직 그 때에만 a = b임을 보여준다.
• 감소 관계와 혼합성 증명을 피함으로써, [1, 7, 15, 16]에서의 이전 증명을 단순화한다.
• M* 모델은 M → M*의 사영과 초깃론 모델에서의 단면을 가지며, 초깃론의 성질을 통해 표준형성과 정규화를 보장한다.
• 이 방법은 종속 곱과 W형과 같은 인도크티브 타입으로 일반화되며, 광범위한 적용 가능성을 보여준다.