[논문 리뷰] Cantor proximal systems with topological rank 2 are residually scrambled

Takashi Shimomura|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 04.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 위상적 랭크 2이자 고정점으로 이루어진 유일한 최소집합을 갖는 0차원, 본질적으로 최소적인 동역학계를 조사한다. Bratteli 다이어그램과 위상적 랭크 이론을 사용하여, 이러한 모든 비례적 캔터 시스템이 잔여적으로 뒤섞임을 증명하고, 유일한 에르고딕성 조건을 설정하며, 에르고딕 측도의 수를 특성화한다. 이 수는 혼합 성질에 따라 1 또는 2가 될 수 있으며, 약한 혼합, 위상적 혼합, 고유 에르고딕성 사례를 포함한 예시를 제시한다.

ABSTRACT

Downarowicz and Maass (2008) proposed topological ranks for all homeomorphic Cantor minimal dynamical systems using properly ordered Bratteli diagrams. In this study, we adopt this definition to the case of all essentially minimal zero-dimensional systems. We consider the cases in which topological ranks are 2 and unique minimal sets are fixed points. Akin and Kolyada (2003), in their study of Li--Yorke sensitivity, showed that if the unique minimal set of an essentially minimal system is a fixed point, then the system must be proximal. However, a finite topological rank implies expansiveness; furthermore, in the case of proximal Cantor systems with topological rank 2, the expansiveness is always from the lowest degree. Rank 2 zero-dimensional systems might be thought as a part of the rank 1 transformations that are considered in the vast field of ergodic theory. However, these systems are also interesting from the perspective of topological chaos theory; e.g., in this study, we show that all proximal Cantor systems with topological rank 2 are residually scrambled. In addition, we investigate the finite invariant measures on these systems. Evidently, such systems have at most two ergodic measures. We present a necessary and sufficient condition for the unique ergodicity of these systems. In addition, we show that the number of ergodic measures of systems that are topologically mixing can be 1 and 2. Moreover, we present examples that are topologically weakly mixing, not topologically mixing, and uniquely ergodic. Finally, we show that the number of ergodic measures of systems that are not weakly mixing can be 1 and 2.

연구 동기 및 목표

• 유일한 고정점 최소집합을 갖는 본질적으로 최소적인 0차원 시스템으로 위상적 랭크 이론을 확장한다.
• 랭크 2 비례적 캔터 시스템의 역학적 행동—특히 뒤섞임과 에르고딕성—을 규명한다.
• 혼합 성질에 기반하여 이러한 시스템의 에르고딕 측도 수를 분류한다.
• 약한 혼합, 비혼합, 고유 에르고딕성 행동을 보여주는 예시를 구축한다.

제안 방법

• 0차원 시스템에 대해 적절히 순서가 매겨진 Bratteli 다이어그램을 통한 위상적 랭크 정의를 채택한다.
• 고정점 최소집합을 갖는 위상적 랭크 2 비례적 캔터 시스템의 구조를 분석한다.
• Akin과 Kolyada(2003)의 최소 시스템에서 Li–Yorke 감도와 비례성에 관한 결과를 적용한다.
• 유한한 위상적 랭크에서 유도된 확산 성질을 이용해 시스템 역학을 특성화한다.
• 이러한 시스템에서 고유 에르고딕성을 위한 필요 및 충분조건을 확립한다.
• 약한 혼합, 비혼합, 고유 에르고딕 행동을 보여주는 명시적 예시를 제작한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상적 랭크 2를 갖는 모든 비례적 캔터 시스템은 잔여적으로 뒤섞이는가?
• RQ2 고정점 최소집합을 갖는 랭크 2 0차원 시스템에서 고유 에르고딕성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 위상적 혼합은 이러한 시스템에서 에르고딕 측도의 수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 이러한 유형의 시스템은 약한 혼합, 위상적 혼합, 또는 고유 에르고딕이 될 수 있으며, 각 경우의 특징은 무엇인가?
• RQ5 이러한 유형의 비약한 혼합 시스템에서 가능한 에르고딕 측도의 최대 수는 얼마인가?

주요 결과

• 위상적 랭크 2를 갖는 모든 비례적 캔터 시스템은 잔여적으로 뒤섞이며, 강력한 위상적 혼란의 형태를 확인한다.
• 이러한 시스템은 최대 두 개의 에르고딕 측도를 갖으며, 이 수는 혼합 성질에 따라 달라진다.
• 이러한 시스템에서 고유 에르고딕성을 위한 필요 및 충분조건이 확립된다.
• 위상적 혼합 시스템은 하나 또는 두 개의 에르고딕 측도를 가질 수 있다.
• 위상적 약한 혼합, 비위상적 혼합, 고유 에르고딕성을 보이는 예시가 존재한다.
• 약한 혼합이 아닌 시스템의 경우, 에르고딕 측도의 수는 하나 또는 두 개가 될 수 있다.