[논문 리뷰] Capacitated Center Problems with Two-Sided Bounds and Outliers

Hu Ding, Lunjia Hu외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 24.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 하한 및 상한 용량 제약 조건이 있는 용량 제약이 있는 $k$-center 문제에 대한 최초의 상수 요인 근사 알고리즘을 제시한다. 이는 외곽점 처리를 포함한다. 이는 이전의 선형계획법 기반 방법보다 더 나은 근사 요인을 달성하는 간단한 조합적 알고리즘을 제안하며, 특히 중심 수가 제약이 없는 경우에 뛰어나다. 또한 공급자 및 외곽점 변형에 대해서도 향상된 근사 한계를 제공한다.

ABSTRACT

In recent years, the capacitated center problems have attracted a lot of research interest. Given a set of vertices $V$, we want to find a subset of vertices $S$, called centers, such that the maximum cluster radius is minimized. Moreover, each center in $S$ should satisfy some capacity constraint, which could be an upper or lower bound on the number of vertices it can serve. Capacitated $k$-center problems with one-sided bounds (upper or lower) have been well studied in previous work, and a constant factor approximation was obtained. We are the first to study the capacitated center problem with both capacity lower and upper bounds (with or without outliers). We assume each vertex has a uniform lower bound and a non-uniform upper bound. For the case of opening exactly $k$ centers, we note that a generalization of a recent LP approach can achieve constant factor approximation algorithms for our problems. Our main contribution is a simple combinatorial algorithm for the case where there is no cardinality constraint on the number of open centers. Our combinatorial algorithm is simpler and achieves better constant approximation factor compared to the LP approach.

연구 동기 및 목표

• 하한 및 상한 용량 제약 조건이 있는 $k$-center 문제에 대한 근사 알고리즘의 격차를 메운다.
• 균일한 하한과 비균일한 상한을 갖는 클러스터 크기 제약 조건 하에서 문제를 연구한다.
• 외곽 정점이 클러스터링에서 제외될 수 있도록 프레임워크를 확장한다.
• 특히 중심 수가 제약이 없는 경우에 기존의 선형계획법 기반 접근보다 향상된 근사 보장을 제공한다.
• 용량 제약 조건과 외곽점을 포함한 $k$-공급자 문제로 결과를 일반화한다.

제안 방법

• 하한 및 상한 제약 조건이 있는 중심 수가 제약이 없는 $k$-center 문제를 위한 새로운 조합적 알고리즘을 제안하며, 복잡한 선형계획법 라운딩을 피한다.
• 스켈레톤 데이터 구조를 통한 트리 분해 방법을 사용하여 문제를 트리 인스턴스로 환원하고, 이를 바탕으로 재귀적 구성 기법을 적용한다.
• 용량 제약 조건을 준수하면서 타당한 중심 선택을 모델링하기 위해 정수 거리-2 이동을 정의한다.
• 루트 노드의 용량이 자식 노드의 상한 대비 상황에 따라 사례 분석을 적용하여 타당성과 근사도를 확보한다.
• 특수한 경우 $U_r > U_{u^*}$ 에서는 상한을 수정하여 더 단순한 경우로 환원하면서 근사 보장을 유지한다.
• 이전의 스켈레톤 구성 및 거리-24 이동 결과를 활용하여 외곽점 처리를 위해 적응시키며, 하한 조건이 있는 경우에 이를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하한 및 상한 용량 제약 조건이 있는 $k$-center 문제에 대해 상수 요인 근사가 달성될 수 있는가?
• RQ2 외곽점의 포함 여부가 이중 제약 조건이 있는 용량 제약 중심 문제의 근사 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 조합적 알고리즘이 근사 비율과 단순성 측면에서 기존의 선형계획법 기반 방법을 능가할 수 있는가?
• RQ4 비균일한 상한과 균일한 하한은 근사 알고리즘 설계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 프레임워크는 이중 제약 조건과 외곽점을 포함한 $k$-공급자 문제로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 비균일한 상한을 갖는 (L, {U_u}, k)-Center 문제에 대해 다항식 시간 9-근사 알고리즘을 달성한다.
• 균일한 상한 경우에 대해 6-근사가 확보되며, 이는 이전의 선형계획법 기반 결과를 향상시킨다.
• 비균일한 상한을 갖는 (L, {U_u}, k)-Supplier 문제에 대해 13-근사가 달성되며, 균일한 경우 9-근사가 얻어진다.
• 외곽점 버전에 대해 (L, {U_u}, k, p)-Center 문제에 대해 25-근사가 달성되며, 균일한 경우 23-근사가 얻어진다.
• 소프트-용량 변형에 대해 (L, {U_u}, soft-k, p)-Center 및 (L, U, soft-k, p)-Center 문제 모두 13-근사가 달성된다.
• 제안된 조합적 알고리즘이 중심 수가 제약이 없는 설정에서 기존의 선형계획법 기반 접근보다 더 나은 근사 비율을 달성한다.