[논문 리뷰] Capacity of multivariate channels with multiplicative noise: I.Random matrix techniques and large-N expansions for full transfer matrices

Anirvan M. Sengupta, Partha P. Mitra|ArXiv.org|2000. 10. 31.

Wireless Communication Security Techniques참고 문헌 4인용 수 92

한 줄 요약

이 논문은 다변량 무선 채널의 에르고딕 용량을 계산하기 위해 대규모 N의 랜덤 매트릭스 이론 기법을 개발한다. 여기서 채널은 곱셈성 fading과 가우시안 잡음이 존재한다. 논문은 로그 행렬식 용량 표현의 모멘트에 대한 정확한 표현을 유도하여, 채널 상태 정보가 전부, 부분적으로, 또는 알려져 있지 않은 경우를 포함한 다양한 채널 상태 정보 가정 하에서 채널 용량을 정밀하게 특성화한다.

ABSTRACT

We study memoryless, discrete time, matrix channels with additive white Gaussian noise and input power constraints of the form $Y_i = \sum_j H_{ij} X_j + Z_i$, where $Y_i$ ,$X_j$ and $Z_i$ are complex, $i=1..m$, $j=1..n$, and $H$ is a complex $m imes n$ matrix with some degree of randomness in its entries. The additive Gaussian noise vector is assumed to have uncorrelated entries. Let $H$ be a full matrix (non-sparse) with pairwise correlations between matrix entries of the form $ E[H_{ik} H^*_{jl}] = {1\over n}C_{ij} D_{kl} $, where $C$,$D$ are positive definite Hermitian matrices. Simplicities arise in the limit of large matrix sizes (the so called large-N limit) which allow us to obtain several exact expressions relating to the channel capacity. We study the probability distribution of the quantity $ f(H) = \log \det (1+P H^{\dagger}S H) $. $S$ is non-negative definite and hermitian, with $Tr S=n$. Note that the expectation $E[f(H)]$, maximised over $S$, gives the capacity of the above channel with an input power constraint in the case $H$ is known at the receiver but not at the transmitter. For arbitrary $C$,$D$ exact expressions are obtained for the expectation and variance of $f(H)$ in the large matrix size limit. For $C=D=I$, where $I$ is the identity matrix, expressions are in addition obtained for the full moment generating function for arbitrary (finite) matrix size in the large signal to noise limit. Finally, we obtain the channel capacity where the channel matrix is partly known and partly unknown and of the form $αI+ βH$, $α,β$ being known constants and entries of $H$ i.i.d. Gaussian with variance $1/n$. Channels of the form described above are of interest for wireless transmission with multiple antennae and receivers.

연구 동기 및 목표

• 메모리 없는 매트릭스 채널의 용량을 곱셈성 페이딩과 가우시안 백색 잡음이 존재하는 조건에서 랜덤 매트릭스 이론을 사용하여 분석한다.
• 큰 매트릭스 크기 근사에서 로그 행렬식 용량 표현의 기대값과 분산에 대한 정확한 표현을 도출한다.
• 채널 매트릭스가 부분적으로 알려져 있을 경우(예: αI + βH 형태) 및 입력 전력 제약 조건이 존재할 경우의 채널 용량을 조사한다.
• 결과를 i.i.d. 페이딩 요소와 알려진 분산이 존재하는 경우로 확장하여 실용적인 무선 채널 가정 하에서 용량 계산이 가능하도록 한다.

제안 방법

• 입력 공분산 매트릭스 S를 고려하여 f(H) = log det(1 + P H† S H)로 정의된 랜덤 변수의 통계적 성질을 분석하기 위해 대-N 랜덤 매트릭스 이론을 사용한다.
• 대규모 m, n 근사에서 f(H)의 기대값과 분산을 계산하기 위해 안장점 적분 및 모멘트 생성 함수 기법을 적용한다.
• 대규모 신호 대 잡음비(SNR) 근사에서 특별한 경우 C = D = I(항등 매트릭스)에 대해 f(H)의 모멘트 생성 함수를 유도한다.
• 특히 진폭 제약이 있는 입력에 대해 발생하는 고차원 적분을 평가하기 위해 안장점 근사를 사용한다.
• 대규모 매트릭스 치수 근사에서 용량을 계산하기 위해 복제 방법과 생성 함수 기법을 사용한다.
• 변분 방법과 안장점 평가를 통해 엔트로피 항을 최적화하여 상호정보량을 최대화함으로써 용량 표현을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 i.i.d. 페이딩과 가우시안 잡음이 존재하는 대규모 MIMO 시스템에서 채널 용량의 정확한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ2 일반적인 채널 매트릭스의 상관관계가 존재할 경우, 로그 행렬식 용량 표현의 모멘트는 대-N 근사에서 어떻게 행동하는가?
• RQ3 채널 매트릭스가 송신기에서 부분적으로 알려져 있을 경우, 예를 들어 αI + βH 형태이고 H의 요소가 i.i.d.일 경우 용량은 어떻게 되는가?
• RQ4 진폭(피크 전력) 제약 조건 하에서 상호정보량은 어떻게 행동하며, 대-N 근사에서 그로 인한 용량은 어떻게 되는가?
• RQ5 고-SNR 영역에서 유한한 매트릭스 크기에 대해 용량 표현의 전체 모멘트 생성 함수를 정확히 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 정규 양의 정합 매트릭스 C와 D에 대해, 대-N 근사에서 f(H)의 기대값과 분산에 대한 정확한 표현이 도출된다.
• C = D = I일 경우, 고-SNR 근사에서 유한한 매트릭스 크기에 대해 f(H)의 전체 모멘트 생성 함수를 정확히 계산한다.
• 채널 매트릭스가 αI + βH 형태이며 α, β가 알려져 있고 H의 요소가 분산 1/n인 i.i.d. 가우시안 분포를 가질 경우의 용량이 유도된다.
• 대-N 근사에서, 진폭 제약이 있는 입력에 대해 안테나당 용량은 c = log[(1 + (α² + β²)P)/(1 + β²P)]로 구해진다.
• 결과는 랜덤 매트릭스 이론의 보편성 성질 덕분에 일반적인 채널 분포에 대해 성립하므로 보편적이다. 이는 가우시안 분포 외의 분포에도 적용 가능하다.
• 용량 표현은 스케일링 관례에 영향을 받지 않지만, 본 논문은 입력 및 출력 신호가 크기가 1이 되도록, H는 1/√n으로 스케일링하는 관례를 채택한다. 이는 일관된 특이값 행동을 유지하기 위함이다.