[논문 리뷰] Caractères de Chern, traces équivariantes et géométrie algébrique dérivée

Bertrand Toën, Gabriele Vezzosi|arXiv (Cornell University)|2009. 03. 19.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 대칭 모나드적 강한 ∞-범주라는 새로운 프레임워크를 사용하여 ∞-범주에 대한 유도된 체르누흐 특성형을 개발하고, 사이클로토믹 추적 사상(모르피즘)을 구축한다. 주요 기여는 음의 순환 호몰로지에 값을 갖는 체르누흐 특성형을 일반화한 것으로, 고전적 체르누흐 특성형을 일반화하며, dg-범주 가족에 대한 새로운 불변량을 가능하게 한다. 이는 새로운 코homology 이론에서의 가우스-민 연결과 2차 체르누흐 특성형을 포함한다.

ABSTRACT

The purpose of this work is to provide details about the construction of the Chern character for categorical sheaves mentioned in our previous work "Chern character, loop spaces and derived algebraic geometry". For this, we introduce and study the notion of rigid symmetric monoidal \infty-category. We show how trace maps can be constructed in this higher categorical setting, and using a recent work of Hopkins-Lurie we prove the existence of a "cyclic trace", which is the main ingredient in the construction of the Chern character. Our Chern character is then constructed for any pair (T,A), consisting of a \infty-topos T and a stack of rigid symmetric monoidal \infty-categories A on T. We propose two main applications of this construction. First of all, we show how to recover the Chern character of perfect complexes on schemes, with values in cyclic homology, and show how it can be extended to an interesting new Chern character for Artin stacks. Our second application provides invariants of famillies of dg-categories. A consequence of the existence of these invariants is the construction of a Gauss-Manin connexion on the cyclic homology complex of such a familly, generalizing previous constructions by Getzler and of Dolgushev-Tamarkin-Tsygan. Another consequence is the construction of the "character sheaf" associated to a representation of an algebraic group into a dg-category, which is a categorification of the character function of a linear representation. Finally, for a familly of saturated dg-categories we construct a "secondary Chern character", taking values in a new cohomology theory called "secondary cyclic homology".

연구 동기 및 목표

• 유도 대수기하학에서 체르누흐 특성형을 구성하기 위한 일반적 프레임워크를 개발하기 위해 ∞-범주를 사용한다.
• 벡터 번들의 고전적 체르누흐 특성형과 완전 복합체를 아르틴 스택과 dg-범주 환경으로 일반화한다.
• dg-범주 가족에 대한 새로운 불변량을 구성한다. 이는 주로 주기적 순환 호몰로지 위의 가우스-민 연결을 포함한다.
• 새로운 호몰로지 이론인 2차 순환 호몰로지에 값이 있는 2차 체르누흐 특성형을 정의한다.
• 군 표현에 대한 특성층을 dg-범주적 설정에서 카테고리화한 일반화를 제공한다.

제안 방법

• 추적 이론의 기초로 삼을 수 있는 대칭 모나드적 강한 ∞-범주를 도입하고 연구한다.
• 모든 자기 사상의 ∞-군족에서 단위 대상의 ∞-군족으로 향하는 사이클로토믹 추적 사상을 구성한다.
• Hopkins-Lurie의 다양체 이론을 사용하여 추적의 사이클로토믹 불변성을 확립한다.
• 모든 쌍 $(T, \mathcal{A})$에 대해 체르누흐 특성형을 정의한다. 여기서 $T$는 ∞-토포스이고 $\mathcal{A}$는 $T$ 위의 대칭 모나드적 강한 ∞-범주이다.
• $∞$-토포스인 스킴과 스택에 적용하여 음의 순환 호몰로지에서 고전적 체르누흐 특성형을 복원하고 일반화한다.
• 포화된 dg-범주에 대해 2차 체르누흐 특성형을 2차 순환 호몰로지에 값이 있도록 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 체르누흐 특성형을 완전 복합체에서 고차 범주론을 사용해 아르틴 스택과 dg-범주 환경으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 유도 대수기하학에서 추적 사상을 구성할 때 사이클로토믹 불변성의 역할은 무엇인가?
• RQ3 추적 이론적 방법을 사용하여 dg-범주 가족의 주기적 순환 호몰로지 위에 가우스-민 연결을 구성할 수 있는가?
• RQ4 2차 체르누흐 특성형의 구조는 어떠한가? 그리고 어떤 호몰로지 이론에서 값이 존재하는가?
• RQ5 dg-범주적 프레임워크에서 군 표현에 대한 특성층을 어떻게 카테고리화할 수 있는가?

주요 결과

• 대칭 모나드적 강한 ∞-범주에서 자기 사상의 ∞-군족에서 단위 대상의 ∞-군족으로 향하는 사이클로토믹 추적 사상이 구성된다.
• 이 추적 사상은 다양체 이론에서 유래된 강력한 사이클로토믹 불변성 성질을 만족한다.
• 완전 복합체에 대한 음의 순환 호몰로지에 값을 갖는 체르누흐 특성형이 복원되고 아르틴 스택으로 일반화된다.
• 콤���트 생성된 dg-범주 가족의 주기적 순환 호몰로지 위에 가우스-민 연결이 구성된다.
• 새로운 호몰로지 이론인 2차 순환 호몰로지에 값을 갖는 2차 체르누흐 특성형이 구성되며, [To-Ve1]의 예측을 확인한다.
• 대수적 군의 dg-표현에 대한 특성층이 고전적 특성 함수의 카테고리화로 구성된다.