[논문 리뷰] Carleman estimate for linear viscoelasticity equations and an inverse source problem

Oleg Imanuvilov, Masahiro Yamamoto|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 25.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 해의 컴팩트 지지 조건을 가정하지 않고 선형 점탄성계에 대한 Carleman 추정을 수립하며, 분리된 수식의 발산 및 코일 성분을 다루기 위해 임의의 미분 연산자를 사용한다. 이 추정을 응용하여, 장시간 간격 동안 측면 부분경계에서의 노이만 데이터로부터 공간적으로 변화하는 외력 인자에 대한 유일성과 리프시츠 안정성을 입증한다.

ABSTRACT

We consider the linear system of viscoelasticity with the homogeneous Dirichlet boundary condition. First we prove a Carleman estimate with boundary values of solutions of viscoelasticity system. Since a solution $u$ under consideration is not assumed to have compact support, in the decoupling of the Lamé operator by introducing div $u$ and rot $u$, we have no boundary condition for them, so that we have to carry out arguments by a pseudodifferential operator. Second we apply the Carleman estimate to an inverse source problem of determining a spatially varying factor of the external source in the linear viscoelastitiy by extra Neumann data on the lateral subboundary over a sufficiently long time interval and establish the stability estimate.

연구 동기 및 목표

• 해가 공간-시간에서 컴팩트 지지를 가지지 않는 경우 선형 점탄성계에 대한 Carleman 추정을 개발하는 것.
• 점탄성 모델에서 라마 연산자와 적분 기억항의 강한 결합성을 극복하는 것.
• 노이만 경계 측정치를 이용하여 외력의 공간적으로 변화하는 인자를 식별하는 역원천 문제에서의 안정성 확립.
• 컴팩트 지지가 없는 시스템으로 Carleman 추정을 확장하여 현실적인 관측 조건 하에서의 역문제 분석을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 분리된 수식에서 발산 u와 회전 u 성분의 경계 조건을 다루기 위해 임의의 미분 연산자를 사용하여 점탄성계에 대한 Carleman 추정을 유도한다.
• 편미분 벡터장의 발산과 회전을 도입하여 라마 연산자를 분리함으로써 이들을 독립 변수로 간주한다.
• 큰 매개수를 가진 가중 $ L^2 $-노름 추정을 사용하여 해를 통제하고, 점탄성 연산자의 전체 구조를 포함한다.
• 노이만 데이터를 장시간 간격 동안 측면 부분경계에서 관측함으로써 Carleman 추정을 역원천 문제에 적용한다.
• 가중 소볼레프 공간에서 에너지 추정과 G 5arding 유형 부등식을 이용하여 안정성 추정을 확립한다.
• 절단 함수와 기호 추정을 활용하여 컴팩트 지지가 없을 경우 발생하는 오차 항과 경계층 효과를 통제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해가 공간-시간에서 컴팩트 지지를 가지지 않는 경우 선형 점탄성계에 대한 Carleman 추정을 수립할 수 있는가?
• RQ2 컴팩트 지지가 없을 경우 라마 연산자의 강한 결합성을 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ3 장시간 간격 동안 측면 부분경계에서의 노이만 데이터만을 이용하여 외력의 공간적으로 변화하는 인자를 유일하게 특정할 수 있는가?
• RQ4 부분 경계 관측 조건 하에서 점탄성성의 역원천 문제에 대해 어떤 안정성 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ5 임의의 미분 연산자 기법이 분리된 시스템에서 발산 및 회전 성분에 대한 경계 조건 부족 문제를 효과적으로 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 해가 공간-시간에서 컴팩트 지지를 가지지 않는 선형 점탄성계에 대해 임의의 미분 연산자를 사용하여 분리된 발산 및 회전 성분을 다루어 Carleman 추정이 수립되었다.
• 큰 매개수에 대해 균일하게 성립하는 Carleman 추정이 존재하며, 이는 가중 $ L^2 $-노름에서 해를 통제하여 관측 가능성과 유일성 결과를 가능하게 한다.
• 역원천 문제에서 리프시츠 안정성이 입증되었다: 외력의 공간적으로 변화하는 인자는 충분히 긴 시간 간격 동안 측면 부분경계에서의 노이만 데이터로부터 유일하게 결정된다.
• 안정성 추정은 관측 부분경계와 원천의 지지 집합 사이의 거리에 따라 정량화되었으며, 기하학적 구조와 계수의 정칙성에 명시적인 의존성을 가진다.
• 분석은 기호가 $ C^2_{cl}S^{2,s} $ 에 속하는 임의의 미분 연산자에 대한 G 5arding 유형 부등식에 기반하며, 절단 함수와 소볼레프 노름을 통해 오차 항을 통제한다.
• 점탄성 방정식의 적분 기억항은 공간과 시간에서 매끄러운 함수로 간주되는 커널 함수 $ \widetilde{\lambda}, \widetilde{\mu} $ 를 다름으로써 분석에 포함된다.