[논문 리뷰] Carleman Estimates and null controllability of coupled degenerate systems

El Mustapha Ait Ben Hassi, Farid Ammar Khodja외 2명|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 15.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 서로 다른 확산 계수를 가진 결합된 열화된 포아송 방정식에 대해, 공통의 가중 함수 $\varphi(t,x) = \frac{\lambda(x^{2-\beta}-d)}{t^k(T-t)^k}$ 를 사용하여 새로운 전역 카르레만 추정식을 개발함으로써, $\alpha_1$ 과 $\alpha_2$ 에서 유래된 $\beta$ 를 사용하여, 영 제어 가능성을 확립한다. 주요 기여는 이전 방법이 $\alpha_1 = \alpha_2$ 를 요구했음을 극복하고, 통합된 가중 함수를 도입하며, 음수인 $\gamma < 1$ 에 대해 하디-포앵카레 부등식을 증명함으로써, 일반적인 결합된 열화된 시스템에 대한 관측 가능성과 영 제어 가능성을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the null controllability of weakly degenerate coupled parabolic systems with two different diffusion coefficients and one control force. To obtain this aim, we develop first new global Carleman estimates for degenerate parabolic equations with weight functions different from the ones in the previous works.

연구 동기 및 목표

• 두 개의 서로 다른 확산 계수 $\alpha_1$ 와 $\alpha_2$ 를 가진 약하게 열화된 결합된 포아송 방정식의 영 제어 가능성을 다루는 것.
• 이전 연구에서 $\alpha_1 = \alpha_2$ 를 요구함으로써 카르레만 추정식에서 지수 가중 함수의 균일한 동치성을 확보하는 데에 제한이 있었음을 극복하는 것.
• 합쳐진 지수 $\beta$ 에서 유도된 공통의 가중 함수 $\varphi(t,x)$ 를 사용하여 열화된 포아송 방정식에 대한 새로운 전역 카르레만 추정식을 개발하는 것.
• 열화된 분석을 다루는 데 필수적인 음수인 $\gamma < 1$ 에 대해 하디-포앵카레 부등식을 증명하는 것.
• 수반된 결합된 열화된 시스템에 대한 관측 가능성 부등식과 영 제어 가능성을 확립함으로써 주요 제어 가능성 결과를 도출하는 것.

제안 방법

• 카르레만 추정식에서 지수 가중 함수를 통합하기 위해, $\beta = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$ 를 사용하여 새로운 공통 가중 함수 $\varphi(t,x) = \frac{\lambda(x^{2-\beta}-d)}{t^k(T-t)^k}$ 를 제안하는 것.
• 모든 $\gamma < 1$ 에 대해, 이는 $\gamma < 0$ 인 경우에도 유효한, 새로운 하디-포앵카레 부등식 $\int_0^1 x^{\gamma-2}v^2 dx \leq \frac{4}{(1-\gamma)^2} \int_0^1 x^\gamma v_x^2 dx$ 를 확립하는 것.
• 새로운 가중 함수와 확장된 하디-포앵카레 부등식을 사용하여 열화된 포아송 방정식 $y_t - (x^\alpha y_x)_x = f$ 에 대한 카르레만 추정식을 유도하는 것.
• 수반된 시스템에 카르레만 추정식을 적용하여, 부분 구간 $\omega \subset (0,1)$ 에서의 관측 가능성 부등식을 도출하는 것.
• 관측 가능성 부등식과 표준 쌍대성 추론을 사용하여, $\omega$ 에서 작용하는 하나의 제어력으로 원래 시스템의 영 제어 가능성을 증명하는 것.
• 이전의 열화된 시스템 연구에서처럼 선형화 및 고정점 추론을 통해 반선형 시스템으로 결과를 확장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로 다른 확산 계수 $\alpha_1 \neq \alpha_2$ 를 가진 결합된 열화된 포아송 방정식에 대해 영 제어 가능성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 이전의 방법이 $\alpha_1 \neq \alpha_2$ 인 경우에 두 방정식을 균일하게 제어할 수 있도록 하는 단일 가중 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ3 음수인 $\gamma < 1$ 에 대해 하디-포앵카레 부등식 $\int_0^1 x^{\gamma-2}v^2 dx \leq \frac{4}{(1-\gamma)^2} \int_0^1 x^\gamma v_x^2 dx$ 는 성립하는가?
• RQ4 서로 다른 확산 계수를 가진 일반적인 결합된 열화된 시스템의 수반 시스템에 대해 관측 가능성 부등식을 유도할 수 있는가?
• RQ5 결합 계수 $b_{ij}$ 와 제어 영역 $\omega$ 에 어떤 조건이 성립하면 시스템의 영 제어 가능성이 보장되는가?

주요 결과

• 공통 가중 함수 $\varphi(t,x) = \frac{\lambda(x^{2-\beta}-d)}{t^k(T-t)^k}$ 를 사용하여 열화된 포아송 방정식에 대한 새로운 카르레만 추정식이 확립되었으며, 여기서 $\beta = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2}$ 이다. 이는 $\alpha_1 \neq \alpha_2$ 인 경우의 분석을 가능하게 한다.
• 모든 $\gamma < 1$ 에 대해, 음수인 경우에도 유효한 하디-포앵카레 부등식 $\int_0^1 x^{\gamma-2}v^2 dx \leq \frac{4}{(1-\gamma)^2} \int_0^1 x^\gamma v_x^2 dx$ 가 증명되었으며, 이는 열화된 추정에 있어 필수적이다.
• 수반된 시스템에 대한 관측 가능성 부등식이 도출되었으며, 다음과 같다: $\int_0^T \int_0^1 s\Theta e^{2s\varphi} [x^{\alpha_1}U_x^2 + x^{\alpha_2}V_x^2] dxdt \leq C_T \int_0^T \int_\omega U^2 dxdt$, 여기서 $\varphi$ 는 정의된 그대로이다.
• 가중 함수가 필요한 성질을 만족할 경우, 원래 시스템 (1.1)–(1.4) 의 영 제어 가능성이 증명되었다. 이는 하디-포앵카레 부등식을 포함한다.
• 선형화 및 고정점 추론을 통해 반선형 열화된 결합 시스템으로 결과를 확장하였으며, 더 넓은 범위의 시스템에 대해 영 제어 가능성을 보장한다.
• 강한 열화된 시스템의 경우(예: $\alpha_i = 1$)는 여전히 열린 문제로 남아 있으며, 향후 연구의 방향을 제시한다.