[논문 리뷰] Castelnuovo-Mumford regularity of ladder determinantal varieties and patches of Grassmannian Schubert varieties

Jenna Rajchgot, Colleen Robichaux외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 02. 08.

Advanced Combinatorial Mathematics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1432-avoiding 및 베크실러 순열에 의해 인덱싱된 그로텐디크 다항식의 차수 공식을 유도하여, 한쪽 방향 혼합 래더 행렬식 이상수 및 그라스만이안 슈부르트 다양체의 조각에 대한 캐스텔누오보-무미드 정규성의 명시적 조합적 공식을 제공한다. 주요 기여는 로스 다이어그램과 양의 다이어그램에서 대각선 및 반대대각선 경로 크기를 기반으로 한 정규성 공식으로, 쿠민니-락슈미바이-사스트리-세샤드리의 추측을 수정한다.

ABSTRACT

We give degree formulas for Grothendieck polynomials indexed by vexillary permutations and $1432$-avoiding permutations via tableau combinatorics. These formulas generalize a formula for degrees of symmetric Grothendieck polynomials which appeared in previous joint work of the authors with Y. Ren and A. St. Dizier. We apply our formulas to compute Castelnuovo-Mumford regularity of classes of generalized determinantal ideals. In particular, we give combinatorial formulas for the regularities of all one-sided mixed ladder determinantal ideals. We also derive formulas for the regularities of certain Kazhdan-Lusztig ideals, including those coming from open patches of Schubert varieties in Grassmannians. This provides a correction to a conjecture of Kummini-Lakshmibai-Sastry-Seshadri (2015).

연구 동기 및 목표

• 한쪽 방향 혼합 래더 행렬식 이상수의 캐스텔누오보-무미드 정규성을 조합적 방법을 사용하여 계산하는 것.
• 기존의 그라스만이안 행렬 슈부르트 다양체 연구를 더 일반적인 행렬식 이상수의 클래스로 확장하는 것.
• 슈부르트 다양체 내 카즈한-류스트리그 이상수의 정규성에 관한 쿠민니-락슈미바이-사스트리-세샤드리의 추측을 수정하고 정밀화하는 것.
• 카즈한-류스트리그 이상수를 통해 래더 행렬식 이상수와 그라스만이안 슈부르트 다양체 사이의 연결 고리를 설정하는 것.
• 테이블로 조합론과 순열 패턴을 사용하여 정규성에 대한 명시적이고 계산 가능한 공식을 제공하는 것.

제안 방법

• 테이블로 조합론을 사용하여 1432-avoiding 및 베크실러 순열에 의해 인덱싱된 그로텐디크 다항식의 차수 공식을 유도한다.
• 로스 다이어그램과 양의 다이어그램에서 부분집합 σₖ(w) 및 τₖ(v)를 정의하여 대각선 및 반대대각선 경로 크기를 계산한다.
• 1432-avoiding 순열에 대해 reg(S/I_w) = ∑ₖ ρ_d(σₖ(w)) 및 베크실러 순열에 대해 reg(S/I_v) = ∑ₖ ρ_a(τₖ(v)) 공식을 사용한다.
• 그라스만이안 순열 u 및 g를 통해 래더 행렬식 이상수와 카즈한-류스트리그 이상수 J_{u,g} 사이의 연결 고리를 활용한다.
• Lenart(2007)의 대칭 그로텐디크 다항식 결과를 비대칭 경우로 확장한다.
• 식 deg(𝐺_𝑤) = #D(w) + reg(S/I_w)를 사용하여 차수 공식에서 정규성을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 한쪽 방향 혼합 래더 행렬식 이상수의 캐스텔누오보-무미드 정규성은 무엇인가?
• RQ2 그라스만이안 슈부르트 다양체의 조각의 정규성은 어떻게 조합적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 1432-avoiding 및 베크실러 순열에 대한 그로텐디크 다항식의 차수는 다이어그램 경로 수로 표현될 수 있는가?
• RQ4 쿠민니-락슈미바이-사스트리-세샤드리의 카즈한-류스트리그 이상수의 정규성에 관한 추측은 맞는가? 만약 아니라면 올바른 공식은 무엇인가?
• RQ5 래더 행렬식 이상수와 그라스만이안 설정에서의 카즈한-류스트리그 이상수 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 1432-avoiding 순열 행렬 슈부르트 다양체의 좌표 환의 정규성은 ∑ₖ ρ_d(σₖ(w))로 주어지며, 여기서 ρ_d는 σₖ(w) 내 최대 대각선 크기를 측정한다.
• 베크실러 순열의 경우 정규성은 ∑ₖ ρ_a(τₖ(v))로 주어지며, ρ_a는 τₖ(v) 내 최대 반대대각선 크기를 측정한다. 이는 한쪽 방향 혼합 래더 행렬식 이상수에 대한 공식을 제공한다.
• 1432-avoiding 순열 w에 대해 그로텐디크 다항식 𝔾_w의 차수는 #D(w) + reg(S/I_w)로 주어지며, 여기서 #D(w)는 코젠 길이다.
• 한쪽 방향 래더 행렬식 이상수 I_L,r의 정규성은 ∑ₖ ρ_a(τₖ(v))와 같으며, 여기서 v는 래더의 마킹된 점들과 랭크들로 정의된 관련 베크실러 순열이다.
• 논문은 쿠민니-락슈미바이-사스트리-세샤드리의 추측을 수정하여, 특정 카즈한-류스트리그 이상수 J_{u,g}의 정규성이 이전에 추측된 공식이 아니라 ∑ₖ ρ_a(τₖ(v))로 주어진다는 것을 보여준다.
• 한쪽 방향 래더 행렬식 이상수의 K다항식은 관련 베크실러 순열의 그로텐디크 다항식과 같으며, 이는 다이어그램 경로 분석을 통한 정규성 계산을 가능하게 한다.