[논문 리뷰] Categorical Saito theory, II: Landau-Ginzburg orbifolds

Junwu Tu|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 30.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $G$-equivariant 행렬 인수분해와 변형된 무한대 히지 필드 이론(VSHS)를 사용하여 Saito의 원시 형식 이론의 $G$-equivariant 판을 구성하며, 유한한 대각 특수 선형 대칭을 갖는 가역 다항식에 대해 귀납적 카테고리적 원시 형식의 존재를 증명한다. 이는 $B$-모델 오르비트 $(W, (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^4)$의 종수 0 전위함수와 그 거울 $A$-모델 $(W, \mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$의 FJRW 전위함수 간의 평탄한 섹션과 멱급수 전개를 비교하여, 퀠티크 가족에 대한 LG/LG 거울 대칭을 검증한다.

ABSTRACT

Let $W\in \mathbb{C}[x_1,\cdots,x_N]$ be an invertible polynomial with an isolated singularity at origin, and let $G\subset {\sf SL}_N\cap (\mathbb{C}^*)^N$ be a finite diagonal and special linear symmetry group of $W$. In this paper, we use the category ${\sf MF}_G(W)$ of $G$-equivariant matrix factorizations and its associated VSHS to construct a $G$-equivariant version of Saito's theory of primitive forms. We prove there exists a canonical categorical primitive form of ${\sf MF}_G(W)$ characterized by $G_W^{\sf max}$-equivariance. Conjecturally, this $G$-equivariant Saito theory is equivalent to the genus zero part of the FJRW theory under LG/LG mirror symmetry. In the marginal deformation direction, we verify this for the FJRW theory of $\big(\frac{1}{5}(x_1^5+\cdots+x_5^5),\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\big)$ with its mirror dual B-model Landau-Ginzburg orbifold $\big(\frac{1}{5}(x_1^5+\cdots+x_5^5), (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^4\big)$. In the case of the Quintic family $\mathcal{W}=\frac{1}{5}(x_1^5+\cdots+x_5^5)-ψx_1x_2x_3x_4x_5$, we also prove a comparison result of B-model VSHS's conjectured by Ganatra-Perutz-Sheridan.

연구 동기 및 목표

• 랜드오우-긴즈부르크 오르비트에서 가역 특이점을 갖는 경우에 대해 Saito의 원시 형식 이론의 $G$-equivariant 확장을 개발한다.
• G--equivariant 행렬 인수분해와 그에 관련된 VSHS를 사용하여 카테고리적 프레임워크를 수립한다.
• 비가환 히지 필터링의 $G_{W}^{{\rm max}}$-equivariant 분할이 존재함을 증명한다.
• 쿼티크 가족에 대해 $B$-모델의 $G$-equivariant Saito 이론과 종수 0 FJRW 이론 간의 거울 대칭을 검증한다.
• 카테고리적 VSHS를 Griffiths의 기하학적 VSHS와 비교하여 Ganatra-Perutz-Sheridan의 추측을 지지한다.

제안 방법

• Hodge-to-de-Rham 분해를 이용하여 카테고리 ${\sf MF}_{G}(W)$의 $G$-equivariant 행렬 인수분해에서 극성화된 VSHS를 구성한다.
• 문헌 [1]의 결과를 통해 비가환 히지 필터링의 분할과 카테고리적 원시 형식 간의 이분법적 대응을 적용한다.
• 비가환 Hochschild 및 순환 호모로지 계산을 통해 귀납적 $G_{W}^{{\rm max}}$-equivariant 분할의 존재를 증명한다.
• 비가환 호모로지 이소모피즘 $HC^{-}_{\rm odd}({\sf MF}_{G}(W)) \cong H^{*}(\Omega_{\mathbb{C}^5}^{*}[[u]], dW + u d_{DR})^{G}$를 사용하여 VSHS를 de Rham 호모로지로 모델링한다.
• Gauss-Manin 접속과 평탄한 접속 간의 관계를 나타내는 이소모피즘 $e^{(x_1\cdots x_5)\psi / u}$를 사용하여 경계 기저 형식의 평탄한 확장을 계산한다.
• 기저 형식 $s_0$의 평탄한 확장의 양의 부분으로서 원시 형식 $\zeta$를 유도하며, 이는 $\zeta = \frac{1}{\omega_0} dx_1\cdots dx_5$로 표현되며, 여기서 $\omega_0$는 $\psi$에 대한 멱급수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가역 다항식 $W$의 $G$-equivariant 행렬 인수분해 카테고리 ${\sf MF}_{G}(W)$에 대해 귀납적 $G$-equivariant 원시 형식이 존재하는가?
• RQ2 이 논문에서 구성된 $G$-equivariant Saito 이론이 쿼티크 가족의 LG/LG dual 성질을 갖는 종수 0 FJRW 이론과 거울 대칭인가?
• RQ3 거울 퀸틱 가족의 기하학적 VSHS와 $B$-모델 $({\sf MF}_{G}(W))$의 카테고리적 VSHS를 비교할 수 있는가?
• RQ4 $B$-모델의 $G$-equivariant Saito 이론의 전위함수는 경계 변형 방향에서 FJRW 전위함수와 일치하는가?
• RQ5 $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^4$에 대해 $W = \frac{1}{5}(x_1^5 + \cdots + x_5^5)$일 때, 비가환 히지 필터링의 귀납적 분할은 $\psi$에 대한 멱급수로 계산 가능한가?

주요 결과

• 카테고리 ${\sf MF}_{G}(W)$에 대해 $G_{W}^{{\rm max}}$-equivariant 분할이 존재하며, 이는 유일한 카테고리적 원시 형식을 유도한다.
• 원시 형식 $\zeta$는 명시적으로 $\zeta = \frac{1}{\omega_0} dx_1 dx_2 dx_3 dx_4 dx_5$로 계산되며, 여기서 $\omega_0 = \sum_{k \geq 0} \frac{[(5k-4)(5k-9)\cdots(1)]^5}{(5k)!} \psi^{5k}$이다.
• 기저 형식 $s_0$의 평탄한 확장은 $s_0^{\sf flat} = \frac{1}{\omega_0} dx_1\cdots dx_5 + u^{-1} \frac{\omega_1}{\omega_0} s_1^{\sf flat} - u^{-2} \frac{\omega_2}{\omega_0} s_2^{\sf flat} + u^{-3} \frac{\omega_3}{\omega_0} s_3^{\sf flat}$를 만족하며, $\omega_i$는 $\psi$에 대한 멱급수로 정의된다.
• $B$-모델의 VSHS $({\sf MF}_{(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^4}(W))$는 거울 퀸틱 가족의 기하학적 VSHS와 동형이며, 이는 Ganatra-Perutz-Sheridan의 추측이 이 경우에 성립함을 확인한다.
• $B$-모델 $({\sf MF}_{(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^4}(W))$의 종수 0 전위함수는 경계 방향 $\tau = \frac{\omega_1}{\omega_0}$에 제한되었을 때, 거울 $A$-모델 $(W, \mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$의 FJRW 전위함수와 일치하며, 이는 LG/LG 거울 대칭을 검증한다.