[논문 리뷰] Categorical structures enriched in a quantaloid: tensored and cotensored categories

Isar Stubbe|ArXiv.org|2004. 11. 16.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 91

한 줄 요약

이 논문은 양자화된 도구 𝒬에 대해 enrich된 cocomplete 범주가 정확히 tensored, cotensored, 그리고 order-cocomplete인 것임을 증명하며, 범주론적이고 순서론적인 구조를 통합한다. 이는 오른쪽 𝒬-모듈이 정확히 cocomplete 𝒬-범주임을 보여주며, 안정적인 코로지와 일관된 조건을 갖춘 양자화된 도구에 기반한 고전적 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

Our subject is that of categories, functors and distributors enriched in a base quantaloid Q. We show how cocomplete Q-categories are precisely those which are tensored and conically cocomplete, or alternatively, those which are tensored, cotensored and order-cocomplete. Bearing this in mind, we analyze how Sup-valued homomorphisms on Q are related to Q-categories. With an appendix on action, representation and variation.

연구 동기 및 목표

• 양자화된 도구에 enrich된 범주에서 cocomplete 범주를 특성화하기 위해.
• enriched 설정에서 tensoring, cotensoring, 그리고 순서론적 suprema 간의 관계를 명확히 하기 위해.
• tensored 𝒬-범주와 𝒬^op 에 값이 Cat(2)인 닫힌 준함수자간의 biequivalence를 수립하기 위해.
• 오른쪽 𝒬-모듈이 cocomplete 𝒬-범주와 동치임을 보여주며, 고전적 모듈 이론의 대응관계를 일반화하기 위해.
• 양자화된 도구의 맥락에서 행동, 표현, sup-보존 편재이론을 통합하기 위해.

제안 방법

• weighted colimit을 𝒬-범주에서의 기본 구성으로 사용하며, tensoring과 cotensing는 특수한 경우로 간주한다.
• 모든 weighted colimit의 존재를 통해 cocompleteness를 정의하고, tensored이면서 conically cocomplete임과의 동치성을 보여준다.
• conical cocompleteness와 동치일 때 cotensored일 경우에 해당하는 더 약한 조건인 order-cocompleteness를 도입한다.
• enriched adjunction 이론을 적용하여 tensored 범주에서 (co)tensoredness와 order-adjunction 간의 관계를 규명한다.
• enriched adjointness를 사용하여 tensored 𝒬-범주와 𝒬^op 에 값이 Cat(2)인 닫힌 준함수자간의 biequivalence를 수립한다.
• 오른쪽 𝒬-모듈을 𝒬^op 에서 Sup로의 sup-보존 호모모르피즘으로 특성화하여, cocomplete 𝒬-범주와 동치임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 언제 𝒬-범주가 cocomplete이며, 이는 tensoring과 cotensoring과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 순서론적 suprema(즉, order-cocompleteness)는 𝒬-범주에서 enrich된 범주론적 colimit와 어떻게 상호작용하는가?
• RQ3 오른쪽 𝒬-모듈과 cocomplete 𝒬-범주 사이의 정확한 대응관계는 무엇인가?
• RQ4 양자화된 도구 설정에서 (co)tensoredness는 enrich된 adjunction을 통해 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ5 행동, 표현, 그리고 Sup-보존 편재이론은 양자화된 도구에 enrich된 범주 맥락에서 어떻게 통합되는가?

주요 결과

• 𝒬-범주는 tensored, cotensored, 그리고 order-cocomplete이어야만 cocomplete이다.
• tensored 𝒬-범주에서 cotensoredness는 특정 order-adjunction의 존재와 동치이다.
• 오른쪽 𝒬-모듈은 정확히 cocomplete 𝒬-범주와 일치하며, 이는 근본적인 biequivalence를 수립한다.
• 양자화된 도구 위에서 행동, 표현, Sup-보존 편재이론은 범주론적으로 동치이다.
• 𝒬-범주에서의 cocompleteness는 tensoring, cotensing, 그리고 순서론적 suprema의 상호작용에 의해 완전히 기술된다.
• 2-세포의 교환 법칙으로 인해 양자화된 도구에 enrich된 범주에서의 일관성 조건이 단순화되어 더 명확한 구조적 결과를 이끌어낸다.