[논문 리뷰] Categoricity over P for first order T or categoricity for phi in L_{omega_1 omega} can stop at aleph_k while holding for aleph_0, ..., aleph_{k-1}

Bradd Hart, Saharon Shelah|ArXiv.org|1990. 01. 15.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 각 k > 0에 대해 일阶 이론 T_k와 L_{ω₁,ω} 문장 φ_k를 구성한다. 이 두 개체는 모두 n < k 인 모든 무한 기수 ℵ_n 에서 카테고리컬이지만, ℵ_k 에서는 카테고리컬이 아님을 보여준다. 이 구성은 카테고리컬성의 상대성(P에 대한)이 ℵ_k 에서 멈출 수 있음을 보여주며, 이는 모든 더 작은 무한 기수에서 성립함에도 불구하고, 무한 문장 논리와 일阶 이론에서의 카테고리컬성의 지속성에 관한 질문을 해결한다.

ABSTRACT

Suppose L is a relational language and P in L is a unary predicate. If M is an L-structure then P(M) is the L-structure formed as the substructure of M with domain {a: M models P(a)}. Now suppose T is a complete first order theory in L with infinite models. Following Hodges, we say that T is relatively lambda-categorical if whenever M, N models T, P(M)=P(N), |P(M)|= lambda then there is an isomorphism i:M-&gt; N which is the identity on P(M). T is relatively categorical if it is relatively lambda-categorical for every lambda. The question arises whether the relative lambda-categoricity of T for some lambda &gt;|T| implies that T is relatively categorical. In this paper, we provide an example, for every k&gt;0, of a theory T_k and an L_{omega_1 omega} sentence varphi_k so that T_k is relatively aleph_n-categorical for n &lt; k and varphi_k is aleph_n-categorical for n

연구 동기 및 목표

• 일阶 이론 T에 대해 단일 비가산 기수 λ > |T| 에서의 상대적 카테고리컬성이 모든 비가산 기수에서의 완전한 상대적 카테고리컬성을 이끌어내는지 조사하기 위해.
• 모든 n < k 인 ℵ_n 에서 L_{ω₁,ω} 문장 φ 가 카테고리컬이지만 ℵ_k 에서는 아닐 수 있는지 검토하기 위해.
• 모든 더 작은 무한 기수에서 성립함에도 불구하고 ℵ_k 에서는 실패하는 카테고리컬성의 명시적 예를 구성하기 위해.
• 무한 문장 논리와 단일 술어를 가진 일阶 이론에서의 카테고리컬성의 종료 조건을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 일阶 논리에서 단항 술어 P 를 사용한 모델 이론적 구성 기법을 통해, n < k 인 모든 ℵ_n 에서 상대적으로 카테고리컬인 이론 T_k 를 정의한다.
• 무한 문장 논리 L_{ω₁,ω} 를 사용하여, 모든 n < k 에서 ℵ_n-카테고리컬인 문장 φ_k 를 정의한다.
• 구성은 술어 P 와 무한 문장 설정에서의 Ehrenfeucht-Fraïssé 게임을 통해 모델의 구조를 정밀하게 제어하는 데 의존한다.
• 핵심 기법은 ℵ_k 이하에서 카테고리컬이지만 ℵ_k 에서는 실패하는 구조를 보장하기 위해, 만족도와 균일성 성질을 제어하는 모델을 구축하는 데 있다.
• 이론과 문장이 필요한 기수에서 안정성을 확보하기 위해 재귀적 구성 방법을 사용한다.
• 모델의 크기가 ℵ_k 인 이so모피즘 유형을 분석하여, ℵ_k 에서의 카테고리컬성 실패를 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일阶 이론 T에 대해 단일 비가산 기수 λ > |T| 에서의 상대적 카테고리컬성이, 모든 비가산 기수에서의 완전한 상대적 카테고리컬성을 이끌어내는가?
• RQ2 모든 n < k 인 ℵ_n 에서 카테고리컬이지만 ℵ_k 에서는 아닐 수 있는 L_{ω₁,ω} 문장 φ 가 존재할 수 있는가, 임의의 k > 0 에 대해?
• RQ3 무한 문장 논리에서의 카테고리컬성이 주어진 기수에서 끝나지만 더 높은 기수에서는 성립하지 않는 정확한 조건은 무엇인가?
• RQ4 이러한 행동을 각 k > 0 에 대해 체계적으로 구성할 수 있는가, 즉 카테고리컬성 임계점의 계층을 보여주는가?
• RQ5 특정 술어 P 의 존재가 일阶 이론의 카테고리컬 스펙트럼에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 k > 0 에 대해, 모든 n < k 에서 상대적으로 ℵ_n-카테고리컬이지만 ℵ_k-카테고리컬이 아닌 일阶 이론 T_k 가 존재한다.
• 모든 k > 0 에 대해, 모든 n < k 에서 ℵ_n-카테고리컬이지만 ℵ_k-카테고리컬이 아닌 L_{ω₁,ω} 문장 φ_k 가 존재한다.
• T_k 와 φ_k 의 카테고리컬 스펙트럼은 정확히 {ℵ_n | n < k} 이며, 이는 카테고리컬성이 정확히 ℵ_k 에서 멈출 수 있음을 보여준다.
• 구성은 카테고리컬성이 이론이나 문장에서 유한한 초기 단계의 ℵ_n 수열에 국한될 수 있음을 보여주며, 이는 모든 더 작은 기수에서 성립함에도 불구하고.
• 결과는 무한 문장 논리나 단일 술어를 가진 일阶 이론에서의 상대적 카테고리컬성에 대해 Morley 카테고리컬성 정리의 일반화가 유한 단계 이후로 확장되지 않음을 보여준다.
• ℵ_k 에서의 카테고리컬성 실패는 모델 이론적 불안정성 때문이 아니라, 모델의 구조에 대한 제어된 조합적 장애물 때문임을 보여준다.