[논문 리뷰] Categories for the practising physicist

Bob Coecke, Eric Paquette|ArXiv.org|2009. 05. 19.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 57인용 수 36

한 줄 요약

이 논문은 이론 물리학의 통합적 프레임워크로 범주론을 제안하며, 특히 FdHilb, Rel, 2Cob를 포함한 단일 카테고리—특히 단일 카테고리—를 통해 물리적 과정을 다이어그램 계산법과 콪 pact closed 구조를 통해 모델링한다. 이 카테고리들이 내재된 공통 구조, 즉 내부 공모노이드와 범주적 행렬 계산법을 공유하고 있음을 보여주며, 위상적 양자 장 이론과 양자 논리의 범주적 기초를 제공한다.

ABSTRACT

In this chapter we survey some particular topics in category theory in a somewhat unconventional manner. Our main focus will be on monoidal categories, mostly symmetric ones, for which we propose a physical interpretation. These are particularly relevant for quantum foundations and for quantum informatics. Special attention is given to the category which has finite dimensional Hilbert spaces as objects, linear maps as morphisms, and the tensor product as its monoidal structure (FdHilb). We also provide a detailed discussion of the category which has sets as objects, relations as morphisms, and the cartesian product as its monoidal structure (Rel), and thirdly, categories with manifolds as objects and cobordisms between these as morphisms (2Cob). While sets, Hilbert spaces and manifolds do not share any non-trivial common structure, these three categories are in fact structurally very similar. Shared features are diagrammatic calculus, compact closed structure and particular kinds of internal comonoids which play an important role in each of them. The categories FdHilb and Rel moreover admit a categorical matrix calculus. Together these features guide us towards topological quantum field theories. We also discuss posetal categories, how group representations are in fact categorical constructs, and what strictification and coherence of monoidal categories is all about. In our attempt to complement the existing literature we omitted some very basic topics. For these we refer the reader to other available sources.

연구 동기 및 목표

• 단일 카테고리와 콩팩트 클로저드 카테고리에 중점을 두어 물리학에 기반한 범주론 소개를 제공한다.
• 수학적 기원이 다른 FdHilb(유한차원 힐버트 공간), Rel(집합과 관계), 2Cob(다양체와 코버디즘) 간의 구조적 유사성을 입증한다.
• 다이어그램 계산법, 콩팩트 클로저드 구조, 내부 공모노이드 등 공통된 특징이 물리적 과정을 위한 통합된 범주적 프레임워크를 지원함을 확립한다.
• 갈로와 쌍대함수와 코모나드를 통해 범주론적 구조를 양자 논리와 양자 측정에 연결한다.
• 물리학과 계산에서 과정의 수정과 조합을 모델링하기 위해 고차원 카테고리의 사용을 정당화한다.

제안 방법

• 식재료(음식 종류)를 객체로, 요리 과정을 사상으로, 순차적 및 병렬 처리를 조합으로 삼는 요리 비유를 사용하여 개념을 소개한다.
• 동시 처리를 위한 텐서곱($A imes D$)을 통해 단일 구조를 도입하며, $(f oxtimes h) oxtimes (g oxtimes k) = (f oxtimes g) oxtimes (h oxtimes k)$와 같은 공리도 제시한다.
• 다이어그램 계산법을 적용하여 과정과 그 조합을 표현함으로써, FdHilb, Rel, 2Cob에서의 시각적 추론을 가능하게 한다.
• 쌍대성과 평가/재평가 사상으로 콩팩트 클로저드 구조를 정의하여 다이어그램에서 선의 '굽힘'을 가능하게 한다.
• FdHilb와 Rel에 대해 범주적 행렬 계산법을 적용하여 선형 대수학과 관계 대수학을 범주론과 연결한다.
• 갈로와 쌍대함수를 사용하여 최약 전조건과 양자 함의를 모델링하며, 순서 카테고리에 의해 논리와 범주론을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 FdHilb, Rel, 2Cob와 같은 단일 카테고리들이 서로 다른 수학적 기초를 지니고 있음에도 불구하고, 어떻게 구조적으로 통합될 수 있는가?
• RQ2 내부 공모노이드와 콩팩트 클로저드 구조는 물리적 및 계산 과정을 모델링하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 콩팩트 클로저드 카테고리에서의 다이어그램 계산법은 양자 과정과 위상적 양자 장 이론에 대한 추론을 어떻게 지원하는가?
• RQ4 갈로와 쌍대함수와 코모나드는 양자 논리와 측정에 대한 범주적 기초를 어떻게 제공하는가?
• RQ5 고차원 카테고리는 물리학과 계산에서 과정의 조합과 수정을 모델링하는 데 어떻게 확장되는가?

주요 결과

• FdHilb, Rel, 2Cob는 모두 다이어그램 계산법과 콩팩트 클로저드 구조를 갖추고 있어 과정에 대한 시각적 추론이 가능하다.
• 등식 $(g oxtimes k) oxtimes (f oxtimes h) = (g oxtimes f) oxtimes (k oxtimes h)$는 단일 카테고리의 교환 법칙을 반영하여 보편적으로 성립한다.
• 범주적 행렬 계산법은 FdHilb와 Rel 모두에서 실현 가능하며, 선형 대수학과 관계 대수학을 범주론과 연결한다.
• 양자 논리의 수직모듈라 법칙은 사영과 사사키 후크 사이의 갈로와 쌍대함수로 나타나며, 양자 함의를 형식화한다.
• 코모나드는 양자 측정과 같은 코알제브라적 구조를 모델링하며, 상태가 새로운 상태와 고전적 자료로 분리됨을 표현한다.
• 수반 함자들의 복합은 모나드 또는 코모나드를 형성하며, 그 순서 카테고리적 대응체로 선형 스트레칭 등 닫힘 연산자가 존재한다.