[논문 리뷰] Categorification via blocks of modular representations for sl(n)

Vinoth Nandakumar, Gufang Zhao|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 21.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특성 $p > n$ 인 체 위에서 $σ\mathfrak{l}_n$ 의 모듈라 표현 블록을 사용하여 Bernstein, Frenkel, Khovanov의 $σ\mathfrak{l}_n$ 텐서곱의 양의 특성 해석을 구성한다. 이 카테고리화는 코 tangent bundle 위의 코herent sheaf를 통한 기하학적 카테고리화와 동치인 코시쿨 그룹화된 리프트를 갖는다. 또한, 계층적인 Mukai flop 는 보완 Grassmannian에 대해 유도 범주 상에서 편향된 동치를 유도한다.

ABSTRACT

Bernstein, Frenkel, and Khovanov have constructed a categorification of tensor products of the standard representation of $\mathfrak{sl}_2$, where they use singular blocks of category $\mathcal{O}$ for $\mathfrak{sl}_n$ and translation functors. Here we construct a positive characteristic analogue using blocks of representations of $\mathfrak{sl}_n$ over a field $ extbf{k}$ of characteristic $p$ with zero Frobenius character, and singular Harish-Chandra character. We show that the aforementioned categorification admits a Koszul graded lift, which is equivalent to a geometric categorification constructed by Cautis, Kamnitzer, and Licata using coherent sheaves on cotangent bundles to Grassmanians. In particular, the latter admits an abelian refinement. With respect to this abelian refinement, the stratified Mukai flop induces a perverse equivalence on the derived categories for complementary Grassmanians. This is part of a larger project to give a combinatorial approach to Lusztig's conjectures for representations of Lie algebras in positive characteristic.

연구 동기 및 목표

• 특성 $p > n$ 인 체 위에서 $σ\mathfrak{l}_2$ 텐서곱의 Bernstein, Frenkel, Khovanov의 카테고리화를 모듈라 표현을 사용하여 양의 특성으로 확장한다.
• 기하학적 카테고리화 작용과 국소화 이론을 활용하여 카테고리화의 코시쿨 그룹화된 리프트를 구성한다.
• 모듈라 카테고리화와 코 tangent bundle 위의 코herent sheaf를 사용한 기하학적 카테고리화 사이의 동치를 확립한다.
• 기하학적 구성의 아벨 보완이 적용된 경우, 계층적인 Mukai flop 가 보완 Grassmannian에 대해 유도 범주 상에서 편향된 동치를 유도함을 보인다.
• 특성 양의에서 리 대수에 대한 Lusztig의 추측을 단순 블록과 토루스-그룹화된 범주를 기반으로 한 조합적 프레임워크를 통해 지지한다.

제안 방법

• 특성 $p > n$ 인 대수적으로 닫힌 체 $k$ 위에서, 영인 Frobenius 특성과 특이 Harish-Chandra 특성을 갖는 $σ\mathfrak{l}_n$ 의 특이 블록을 사용한다.
• 이 블록들 사이의 이동 함수를 적용하여, 표준 표현 텐서곱을 올리는 $σ\mathfrak{l}_2$-행동의 카테고리화를 정의한다.
• Cautis, Kamnitzer, Licata의 기하학적 카테고리화 작용 이론을 활용하여 카테고리화의 그룹화된 리프트를 구성한다.
• Bezrukavnikov, Mirković, Rumynin의 기하학적 국소화 이론을 활용하여 모듈라 표현 범주와 Grassmannian의 코 tangent bundle 위의 코herent sheaf 사이의 관계를 설정한다.
• 함수와 자연 변환의 실현을 위해 $χ\widetilde{\mathfrak{g}}_{\mathcal{P}_r} \times_{\mathfrak{g}} \widetilde{\mathfrak{g}}_{\mathcal{P}_{r+1}} \times_{\mathfrak{g}} \{0\}$ 위에 Fourier-Mukai 커널을 구성한다.
• 함수와 자연 변환 간의 nil-affine Hecke 관계가 그룹화된 설정에서 성립함을 검증하여, 이는 비그룹화된 설정에서도 성립함을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 $p > n$ 인 체 위에서 $σ\mathfrak{l}_n$ 의 모듈라 표현을 사용하여 Bernstein-Frenkel-Khovanov 카테고리화의 양의 특성 해석을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이 모듈라 카테고리화가 알려진 기하학적 카테고리화와 동치인 코시쿨 그룹화된 리프트를 갖는가?
• RQ3 기하학적 구성의 아벨 보완이 적용된 경우, 보완 Grassmannian에 대해 계층적인 Mukai flop 가 유도 범주 상에서 편향된 동치를 유도하는가?
• RQ4 표현의 토루스 그룹화는 양의 특성에서 Lusztig의 추측을 어떻게 기술하는가?
• RQ5 기하학적 구성의 카테고리화된 대칭 Howe 이중성은 비영인 Frobenius 중심 특성을 갖는 표현의 카테고리화를 올리는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 특성 $p > n$ 인 체 위에서 영인 Frobenius 특성을 갖는 $σ\mathfrak{l}_n$-표현의 블록을 통한 모듈라 카테고리화는 코시쿨 그룹화된 리프트를 갖는다.
• 이 그룹화된 리프트는 Cautis, Kamnitzer, Licata가 코 tangent bundle 위의 코herent sheaf를 사용하여 구성한 기하학적 카테고리화와 동치이다.
• 기하학적 구성에 아벨 보완이 적용된 경우, 보완 Grassmannian에 대해 계층적인 Mukai flop 는 코herent sheaf의 유도 범주 상에서 편향된 동치를 유도한다.
• 계층적인 Mukai flop 에 의한 유도 동치는 Theorem B 와 Corollary 2.13 를 조합하여 편향된 것으로 확인된다.
• 함수와 자연 변환 간의 nil-affine Hecke 관계는 그룹화된 설정에서 성립하며, 따라서 비그룹화된 설정에서도 성립한다.
• 기하학적 구성의 카테고리화된 대칭 Howe 이중성은 비영인 Frobenius 중심 특성을 갖는 표현의 카테고리화에 대해 그룹화된 리프트를 얻는 데 사용될 수 있다.