[논문 리뷰] Categorified cyclic operads

Pierre-Louis Curien, Jovana Obradović|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 21.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 10인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 대칭을 갖는 집합 기반 순환 작용소의 공리계를 등식에서 동형사상으로 완화함으로써 분류화된 순환 작용소의 개념을 도입한다. Dožn과 Petrić의 약한 Cat-작용소에 기반한 문법적 용어 재작성 기법을 통해 조건화를 확립한다. 주요 기여는 모든 표준 동형사상 다이어그램이 교차함을 보장하는 조건화 정리이며, 이는 2-다각형 표현을 통한 부호 할당을 통해 순환 작용소에 대한 홀수 피曼 범주를 구성하는 데 응용된다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce a notion of categorified cyclic operad for set-based cyclic operads with symmetries. Our categorification is obtained by relaxing defining axioms of cyclic operads to isomorphisms and by formulating coherence conditions for these isomorphisms. The coherence theorem that we prove has the form "all diagrams of canonical isomorphisms commute". Our coherence results come in two flavours, corresponding to the "entries-only" and "exchangeable-output" definitions of cyclic operads. Our proof of coherence in the entries-only style is of syntactic nature and relies on the coherence of categorified non-symmetric operads established by Do\v{s}en and Petri\'c. We obtain the coherence in the exchangeable-output style by "lifting" the equivalence between entries-only and exchangeable-output cyclic operads, set up by the second author. Finally, we show that a generalisation of the structure of profunctors of B\' enabou provides an example of categorified cyclic operad, and we exploit the coherence of categorified cyclic operads in proving that the Feynman category for cyclic operads, due to Kaufmann and Ward, admits an odd version.

연구 동기 및 목표

• 엄격한 등식을 동형사상으로 대체함으로써 대칭을 갖는 순환 작용소의 조건화된 분류화를 개발한다.
• 순환 작용소의 엔트리 전용 정의에서 모든 표준 동형사상 다이어그램이 교차함을 보장하는 조건화 정리를 확립한다.
• 제2저자의 제안한 동치를 통해 엔트리 전용 정의에서 교환 가능한 출력 정의로의 조건화 결과를 확장한다.
• 프로파질라가 분류화된 순환 작용소의 모델을 형성함을 보여준다.
• 조건화 프레임워크를 활용하여 순환 작용소에 대한 홀수 피만 범주를 구성한다.

제안 방법

• 집합 수준의 연산을 범주로, 공리계를 동형사상으로 대체함으로써 엔트리 전용 순환 작용소를 분류화한다. 이는 순차적 결합자 β와 교환자 γ를 포함한다.
• 약한 Cat-작용소의 조건화 증명에 기반한 문법적 용어 재작성 접근법을 채택한다.
• 조건화 문제를 단계별로 감소시킨다: 먼저 대칭군 작용을 제외하고, 그 다음 순환성을 제거하며, 마지막으로 골격 구조로 제한한다.
• Mac Lane의 오각형과 역원 조건 외에 새로운 조건화 조건인 육각형, 십각형, 혼합 조건을 도입한다.
• 집합의 모나드 범주를 기술하기 위해 2-다각형 ΣCyc를 도입한다. 여기서 1-생성자는 모서리 압축과 레이블 재할당을, 2-생성자는 조건화 관계를 나타낸다.
• ΣCyc의 관계에 부호를 할당하여 아벨-가중 피만 범주 ∥(Cyc, ν)∥odd를 정의함으로써 반순환 작용소의 구성이 가능해진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순환 작용소의 공리계는 등식을 동형사상으로 대체함으로써 체계적으로 분류화될 수 있는가? 이때 조건화가 유지되는가?
• RQ2 분류화된 순환 작용소가 모든 표준 동형사상 다이어그램이 교차함을 보장하기 위해 필요한 최소한의 조건화 조건은 무엇인가?
• RQ3 엔트리 전용 정의와 교환 가능한 출력 정의 사이의 동치 관계는 분류화된 설정으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ4 프로파질라의 구조는 분류화된 순환 작용소의 공리계를 자연스럽게 지지하는가?
• RQ5 조건화 프레임워크를 활용하여 순환 작용소에 대한 '홀수' 버전의 피만 범주를 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 분류화된 엔트리 전용 순환 작용소에서 모든 표준 동형사상 다이어그램이 교차함을 보장하는 조건화 정리를 확립한다.
• 조건화 증명은 세 가지 충실한 감소 단계에 기반한다: 대칭군 작용 제거, 순환성 제거, 골격 구조로 제한. 이는 궁극적으로 약한 Cat-작용소에서 알려진 조건화로 귀결된다.
• 집합의 모나드 범주를 기술하기 위해 새로운 2-다각형 ΣCyc를 구성한다. 여기서 1-생성자는 모서리 압축과 레이블 재할당을, 2-생성자는 조건화 관계를 나타낸다.
• 저자들은 관계 x◦y = y◦x에 부호 −를, 나머지 모든 관계에는 부호 +를 할당함으로써 부호 할당 ν를 정의한다. 이는 홀수 피만 범주를 정의한다.
• 홀수 피만 범주 ∥(Cyc, ν)∥odd를 구성하였으며, 그 표현은 반순환 작용소이며, 바르 및 코바르 변환, 피만 변환을 지원한다.
• 프로파질라 구성은 분류화된 순환 작용소의 구체적 예를 제공하며, 이는 프레임워크의 일반성을 검증한다.