[논문 리뷰] Categorifying Hecke algebras at prime roots of unity, part I

Ben Elias, You Qi|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 06.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 A형에서 다이어그램적 헤케 카테고리에 p-미분 가중(graded, p-dg) 구조를 도입하며, 특별한 차수 2 미분을 사용하여 p-dg 그로텐디에크 군에서 헤케 대수 관계를 만족한다. 이 미분의 존재성과 유일성(대칭과 동치에 대해)을 증명하고, p-dg 그로텐디에크 군이 카즈단-루스트리그 기저와 p-표준 기저와 다를 바 있는 새로운 기저를 가진 이와하라-헤케 대수와 동형일 것이라 추측한다.

ABSTRACT

We equip the type $A$ diagrammatic Hecke category with a special derivation, so that after specialization to characteristic $p$ it becomes a $p$-dg category. We prove that the defining relations of the Hecke algebra are satisfied in the $p$-dg Grothendieck group. We conjecture that the $p$-dg Grothendieck group is isomorphic to the Iwahori-Hecke algebra, equipping it with a basis which may differ from both the Kazhdan-Lusztig basis and the $p$-canonical basis. More precise conjectures will be found in the sequel. Here are some other results contained in this paper. We provide an incomplete proof of the classification of all degree $+2$ derivations on the diagrammatic Hecke category, and a complete proof of the classification of those derivations for which the defining relations of the Hecke algebra are satisfied in the $p$-dg Grothendieck group. In particular, our special derivation is unique up to duality and equivalence. We prove that no such derivation exists in simply-laced types outside of finite and affine type $A$. We also examine a particular Bott-Samelson bimodule in type $A_7$, which is indecomposable in characteristic $2$ but decomposable in all other characteristics. We prove that this Bott-Samelson bimodule admits no nontrivial fantastic filtrations in any characteristic, which is the analogue in the $p$-dg setting of being indecomposable.

연구 동기 및 목표

• A형 다이어그램적 헤케 카테고리에 특수한 차수 2 미분을 갖춘 p-미분 가중(p-dg) 구조를 구성하여 소수 체로의 특수화를 수행한다.
• 이와하라-헤케 대수의 정의 관계가 p-dg 그로텐디에크 군에서 성립함을 증명한다.
• p-dg 그로텐디에크 군에서 헤케 관계를 만족하는 다이어그램적 헤케 카테고리 위의 모든 차수 +2 미분을 분류한다.
• 유한형과 아핀 A형 외의 단순형 타입에서 이러한 미분이 존재하는지 조사한다.
• 특히 2차 체에서의 행동을 중심으로, p-dg 구조 하에서 보트-사무엘슨 이중모듈러의 행동을 탐구한다.

제안 방법

• 특수한 차수 2 미분을 다이어그램적 헤케 카테고리에 부여하여, 소수 체로의 특수화 후 dp = 0을 만족하도록 한다.
• p-dg 카테고리 이론과 그로텐디에크 군을 이용하여 미분에 의한 카테고리의 상을 분석한다.
• ‘매혹적인 필터링’(fantastic filtrations) 개념을 이중모듈러의 분해 불가능성에 대한 p-dg 유사체로 적용하여 이중모듈러의 구조를 연구한다.
• 두꺼운 계산법(thick calculus)과 쇼르겔 계산법(Soergel calculus)을 통해 직접적인 다이어그램 계산을 수행하여 관계를 검증한다.
• 180도 회전 및 다이앵킨 다이어그램 자동형사상 등의 대칭성을 활용하여 서로 다른 미분 계산 간의 관계를 규명한다.
• 특정 보트-사무엘슨 이중모듈러의 내적환을 분석하여, p-dg 미분 하에서의 분해 불가능성을 탐지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다이어그램적 헤케 카테고리에 대해 차수 2의 미분이 존재하여, p-dg 그로텐디에크 군에서 헤케 대수 관계가 성립하는가?
• RQ2 p-dg 헤케 카테고리의 유도 카테고리가 소수 한계에서의 작은 양자군과 카테고리적으로 동치인가?
• RQ3 p-dg 그로텐디에크 군이 카즈단-루스트리그 기저 또는 p-표준 기저와 동치가 아닌 새로운 기저를 가진 이와하라-헤케 대수와 동형일 수 있는가?
• RQ4 유한형과 아핀 A형 외의 단순형 타입에서 비자명한 p-dg 미분이 존재하는가?
• RQ5 p-dg 구조가 매혹적인 필터링과 유사하게 분해 불가능성을 감지하는가, 특히 2차 체에서의 경우에 대해?

주요 결과

• 논문은 A형 다이어그램적 헤케 카테고리에 대해 유일한(대칭과 동치에 대해) 차수 2의 미분을 구성하여, p-dg 그로텐디에크 군에서 헤케 대수 관계가 성립함을 보였다.
• 유한형과 아핀 A형 외의 단순형 타입에서는 그러한 미분이 존재하지 않음을 증명하여 강력한 타입 제약 조건을 확립하였다.
• S8에서 특정 순서에 대응하는 보트-사무엘슨 이중모듈러에 대해 p-dg 미분은 0이 아니며, 내적환 d(p)i 역시 0이 아니므로, 객체 By는 어떤 dg-필터링에서도 X의 직접합성분이 될 수 없다.
• 계산 결과 d(p) ≠ 0 이며 d(i) ≠ 0 이며, 다항식 x1, x3, x6, x8 과 비자명한 내적환(분할-합치기 지도로부터 유도됨)을 포함하는 명시적 표현이 존재한다.
• A8에서의 예시는 추측된 d-표준 기저가 p-표준 기저와 카즈단-루스트리그 기저와 모두 다름을 보여주며, 이는 새로운 기저의 존재를 지지한다.
• 논문은 p-dg 그로텐디에크 군에서 헤케 관계를 만족하는 모든 미분에 대한 완전한 분류를 제공하였고, 모든 차수 +2 미분에 대한 부분적인 분류도 수행하였다.