[논문 리뷰] Cauchy difference priors for edge-preserving Bayesian inversion with an application to X-ray tomography

Markku Markkanen, Lassi Roininen외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 19.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 선형 역문제에서 에지 보존형 베이지안 복원을 위한 코시 차분 사전분포를 제안하며, α=1인 레비 α-안정 랜덤 워크를 활용하여 복원 결과의 에지 정합성을 유지한다. 이 방법은 X선 단층촬영에서 가우시안 및 총변동 사전분포보다 우수한 성능을 보이며, 측정 수가 적거나 노이즈가 높은 조건에서도 뛰어난 성능을 발휘한다. 메트로폴리스-해스팅스를 통한 조건부 평균 추정과 가우스-뉴턴 최적화를 통한 최대사후확률 추정을 통해 밀도 높은 메쉬에서도 잡음 없이 강건한 복원 결과를 도출한다.

ABSTRACT

We study Cauchy-distributed difference priors for edge-preserving Bayesian statistical inverse problems. On the contrary to the well-known total variation priors, one-dimensional Cauchy priors are non-Gaussian priors also in the discretization limit. Cauchy priors have independent and identically distributed increments. One-dimensional Cauchy and Gaussian random walks are special cases of Lévy $α$-stable random walks with $α=1$ and $α=2$, respectively. Both random walks can be written in closed-form, and as priors, they provide smoothing and edge-preserving properties. We briefly discuss also continuous and discrete Lévy $α$-stable random walks, and generalize the methodology to two-dimensional priors. We apply the developed algorithm to one-dimensional deconvolution and two-dimensional X-ray tomography problems. We compute conditional mean estimates with single-component Metropolis-Hastings and maximum a posteriori estimates with Gauss-Newton-type optimization method. We compare the proposed tomography reconstruction method to filtered back-projection estimate and conditional mean estimates with Gaussian and total variation priors.

연구 동기 및 목표

• 가우시안 사전분포의 부드러움 문제를 피하는 이산화 불변성과 에지 보존 기능을 갖춘 베이지안 역문제를 위한 사전분포를 개발한다.
• 고차원에서의 총변동 사전분포가 이산화 불변성이 없어져 발생하는 에지 보존 능력 저하 문제를 해결한다.
• 안정적이고 꼬리가 두꺼운 행동을 보이는 비가우시안 대안으로서 코시 분포를 가진 증분을 사용한 차분 사전분포의 활용을 탐색한다.
• 1차원 디컨볼루션과 2차원 X선 단층촬영에 이 방법을 적용하여 기존 사전분포와 필터링 백프로젝션과의 성능을 비교한다.
• TV 사전분포가 실패하는 고밀도 계산 메쉬에서도 코시 사전분포가 에지 보존 기능을 유지함을 입증한다.

제안 방법

• α=1인 레비 α-안정 랜덤 워크의 특수한 경우로서 1차원 코시 차분 사전분포를 구성하여 이산화 근처에서 비가우시안 증분을 보장한다.
• 사후분포의 조건부 평균(CM) 추정을 위해 단일 성분 메트로폴리스-해스팅스 샘플링을 사용한다.
• 코시 사전분포 하에서 최대사후확률(MAP) 추정을 위해 가우스-뉴턴 유사 최적화를 활용한다.
• 선형 전진 모델과 가우시안 노이즈를 가진 1D 디컨볼루션 및 2D X선 단층촬영에 사전분포를 적용한다.
• 계산 효율성을 위해 MEX/C 인터페이스를 사용하여 알고리즘을 구현하며, 체인 길이 500만, 버닝 스텝 수 250만을 설정한다.
• 극한에서 연속적인 코시 랜덤 필드로 수렴하도록 사전분포를 구성함으로써 이산화 불변성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코시 분포를 가진 차분 사전분포는 이산화 불변성을 유지하면서도 베이지안 복원에서 에지를 보존할 수 있는가?
• RQ2 저 SNR 조건에서 코시 사전분포는 가우시안 및 총변동 사전분포와 비교해 복원 품질이 뛰어나게 되는가?
• RQ3 α=1인 레비 α-안정 랜덤 워크를 사용할 경우, 고차원 역문제에서 가우시안 또는 TV 사전분포보다 더 나은 에지 보존 성능을 보이는가?
• RQ4 측정 수가 감소하거나 노이즈가 증가할 경우 제안된 방법이 성능을 유지할 수 있는가?
• RQ5 알고리즘의 계산 비용이 미지수의 수에 비례하여 증가하는가? 즉, 확장성은 있는가?

주요 결과

• X선 단층촬영에서 코시 사전분포를 사용한 조건부 평균 추정은 TV 사전분포보다 더 선명한 복원을 제공했고, 가우시안 사전분포보다 훨씬 적은 잡음 왜곡을 보였다.
• 코시 사전분포는 400×400 및 800×800 고밀도 그리드에서도 에지 보존 기능을 유지했으며, 다양한 해상도에서 복원 결과가 거의 동일하게 나타났다.
• 노이즈가 증가하거나 측정 수가 감소할 경우 코시 사전분포를 사용한 조건부 평균 추정은 TV 사전분포보다 더 강건한 성능을 보였다.
• 코시 사전분포를 사용한 최대사후확률 추정은 조건부 평균 추정보다 계산 속도가 빠르지만, 가끔 조건부 평균 추정에는 없던 허구적 피크를 생성했다.
• 복원 시간은 미지수의 수에 거의 선형적으로 증가했으며, 200×200일 경우 약 24시간, 400×400일 경우 약 96시간이 소요되어 O(N) 복잡도를 보였다.
• 필터링 백프로젝션은 심각한 잡음 왜곡을 유발했지만, 코시 사전분포 복원은 세밀한 구조와 에지를 더 정확하게 포착했다.