[논문 리뷰] Causal Modeling of Dynamical Systems

Stephan Bongers, Tineke Blom외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 23.

Bayesian Modeling and Causal Inference인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 구조적 인과 모델(SCM)을 연속 시간 동적 시스템으로 확장하기 위해 무작위 미분 방정식의 임의의 차수로 제어되는 확률적 과정으로 구성 요소를 모델링하는 공식적 프레임워크인 구조적 동적 인과 모델(SDCM)을 소개한다. 주요 기여는 SDCM의 존재성, 유일성, 마르코프 성질 및 평형 행동을 엄밀하게 확립하는 이론으로, 이는 SCM 의미론의 원칙적인 시간 의존적 확장을 통해 확률적 동적 시스템에서의 인과 추론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Dynamical systems are widely used in science and engineering to model systems consisting of several interacting components. Often, they can be given a causal interpretation in the sense that they not only model the evolution of the states of the system's components over time, but also describe how their evolution is affected by external interventions on the system that perturb the dynamics. We introduce the formal framework of structural dynamical causal models (SDCMs) that explicates the causal semantics of the system's components as part of the model. SDCMs represent a dynamical system as a collection of stochastic processes and specify the basic causal mechanisms that govern the dynamics of each component as a structured system of random differential equations of arbitrary order. SDCMs extend the versatile causal modeling framework of structural causal models (SCMs), also known as structural equation models (SEMs), by explicitly allowing for time-dependence. An SDCM can be thought of as the stochastic-process version of an SCM, where the static random variables of the SCM are replaced by dynamic stochastic processes and their derivatives. We provide the foundations for a theory of SDCMs, by (i) formally defining SDCMs, their solutions, stochastic interventions, and a graphical representation; (ii) studying existence and uniqueness of the solutions for given initial conditions; (iii) providing Markov properties for SDCMs with initial conditions; (iv) discussing under which conditions SDCMs equilibrate to SCMs as time tends to infinity; (v) relating the properties of the SDCM to those of the equilibrium SCM. This correspondence enables one to leverage the wealth of statistical tools and discovery methods available for SCMs when studying the causal semantics of a large class of stochastic dynamical systems. The theory is illustrated with examples from different scientific domains.

연구 동기 및 목표

• 기존 SCM이 시간 표현이 부족하여 실패하는 연속 시간 동적 시스템에서 인과 의미론을 공식화하기 위해.
• 확률적 과정과 무작위 미분 방정식을 통해 시간 의존적, 확률적, 연속적인 동역학을 처리할 수 있도록 구조적 인과 모델(SCM)을 확장하기 위해.
• 일반 조건 하에서 SDCM의 기본 성질—존재성, 유일성, 마르코프 성질 및 평형 수렴성—을 확립하기 위해.
• 시간이 무한히 흐를 때 SDCM이 평형 SCM으로 수렴함으로써 동적 시스템에서의 인과 추론을 가능하게 하기 위해.
• do-계산법과 확률적 간섭을 지원하는 그래픽적이고 간섭 기반의 SDCM 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 정적 확률 변수를 대체하여 확률적 과정과 그 도함수를 사용하는 SDCM을 SCM의 확률적 과정 확장으로 제안한다.
• 임의의 차수의 무작위 미분 방정식 시스템을 사용하여 SDCM을 정의하며, 구성 요소는 자율적인 인과 메커니즘을 나타낸다.
• 초기 조건과 외부 노이즈가 주어진 상황에서 시스템을 만족하는 확률적 과정으로 SDCM의 해를 정의한다.
• 내생적 과정을 노드로, 인과적 의존성을 간선으로 사용하는 방향 그래프를 사용하여 SDCM의 그래픽적 표현을 개발한다.
• do-계산법을 SDCM에 적용하여 완전 간섭 및 소프트 간섭을 포함한 구성 요소 간섭을 정의한다.
• 적절한 안정성 조건 하에서 SDCM 해가 장기적으로 SCM으로 수렴함을 확립하여 SCM 도구를 동적 시스템으로 이행할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 대해 대칭적인 연속 시간 동적 시스템에 인과 의미론을 어떻게 공식적으로 통합할 수 있는가?
• RQ2 주어진 초기 조건과 노이즈 분포 하에서 SDCM 해가 존재하고 유일하게 유지되는 조건는 무엇인가?
• RQ3 초기 조건이 있는 SDCM에서 성립하는 마르코프 성질은 무엇이며, 이는 해 경로에서의 조건부 독립성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 언제 그리고 어떤 조건에서 SDCM은 시간이 무한히 흐를수록 평형 SCM으로 수렴하는가?
• RQ5 SDCM에서의 간섭은 평형 SCM의 do-간섭과 어떻게 대응되며, 이들의 분포 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• SDCM은 임의의 차수의 무작위 미분 방정정식을 통해 연속 시간 동적 시스템에서 인과 메커니즘을 명시적으로 모델링하는 공식적 프레임워크를 제공한다.
• 드리프트 및 확산 함수에 대한 약한 정규성 조건 하에서 SDCM의 해는 존재하고 유일하며, 이는 모델의 잘 정의됨을 보장한다.
• SDCM은 그래픽적 구조에 대해 마르코프 성질을 만족하며, 해 경로에서의 조건부 독립성과 인과 그래프에서의 d-분리와 연결된다.
• 적절한 안정성 조건 하에서 SDCM 해는 시간이 무한히 흐를수록 평형 SCM으로 수렴하며, 이로 인한 극한 분포는 평형 모델과 일致한다.
• SDCM에서의 확률적 간섭, 특히 완전 간섭은 잘 정의된 간섭된 해 과정을 유도하며, 이들의 극한은 평형 SCM의 해당 do-간섭과 일치한다.
• 선형 SDCM의 경우 대각 안정화 행렬의 존재는 모든 해가 수렴함을 보장하며, 평형 모델은 원래 SDCM의 인과적 구조를 그대로 이어받는다.