[논문 리뷰] Cayley transform applied to non-interacting quantum transport

Horia D. Cornean, Hagen Neidhardt외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 20.

Spectral Theory in Mathematical Physics인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 비상호작용 양자 운반에서 유계가 아니고, 자기수반적이지도 않으며, 아래로 유계가 아닌 연산자를 다루기 위해 Landauer-Büttiker 체계를 확장한다. 순수 점 스펙트럼 및 특이 연속 스펙트럼 부분공간이 정 steady-state 전류에 기여하지 않음을 증명하고, 의사상대론적 도파미어와 소산 경계 조건 또는 점 상호작용을 가진 디рак 연산자를 가진 시스템에 대해 명시적인 전류 공식을 유도한다.

ABSTRACT

We extend the Landauer-Büttiker formalism in order to accommodate both unitary and self-adjoint operators which are not bounded from below. We also prove that the pure point and singular continuous subspaces of the decoupled Hamiltonian do not contribute to the steady current. One of the physical applications is a stationary charge current formula for a system with four pseudo-relativistic semi-infinite leads and with an inner sample which is described by a Schrödinger operator defined on a bounded interval with dissipative boundary conditions. Another application is a current formula for electrons described by a one dimensional Dirac operator; here the system consists of two semi-infinite leads coupled through a point interaction at zero.

연구 동기 및 목표

• 유계가 아니며 아래로 유계가 아닌 유니터리 및 자기수반 연산자를 수용할 수 있도록 Landauer-Büttiker 체계를 일반화하는 것.
• 비상호작용 양자 시스템에서 정 steady-state 전류를 결정하는 데 있어 스펙트럼 부분공간—순수 점 스펙트럼 및 특이 연속 스펙트럼—의 역할을 명확히 하는 것.
• 소산 경계 조건이 적용된 유한한 샘플과 연결된 의사상대론적 반무한 도파미어를 가진 시스템에 대해 명시적인 전하 전류 공식을 도출하는 것.
• 영점에서 점 상호작용을 가진 1차원 디рак 연산자로 기술되는 전자에 대한 전류 공식을 개발하는 것.

제안 방법

• 비유계 자기수반 연산자를 유계 유니터리 연산자로 매핑하기 위해 케일리 변환을 적응하여 확장된 체계에서 스펙트럼 분석을 가능하게 한다.
• 확장된 체계를 사각형 반무한 도파미어 네 개와 소산 경계 조건이 적용된 유한한 간격 샘플로 구성된 시스템에 적용한다.
• 상호작용이 없는 상황에서 케일리 변환에 의해 생성된 유니터리 진화를 사용하여 산란 진폭과 전류 연산자를 계산한다.
• Landauer-Büttiker 접근법을 통해 전류 공식을 도출하고, 정 steady 전류를 산란 행렬의 투과 진폭으로 표현한다.
• 원점에서 점 상호작용을 가진 1차원 디рак 연산자 모델을 고려하고, 동일한 체계를 사용하여 전류를 계산한다.
• 순수 점 스펙트럼 및 특이 연속 스펙트럼 부분공간의 기여가 정 steady 전류에서 사라짐을 증명하며, 스펙트럼 분해와 추적-클래스 고려에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Landauer-Büttiker 체계는 아래로 유계가 아닌 연산자를 다룰 수 있도록 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 비상호작용 양자 운반에서 분리된 해밀토니안의 어떤 스펙트럼 부분공간이 정 steady-state 전류에 기여하는가?
• RQ3 소산 경계 조건 하에 있는 유한한 샘플과 네 개의 의사상대론적 도파미어를 가진 시스템에서 전하 전류의 명시적 표현은 무엇인가?
• RQ4 영점에서 점 상호작용을 가진 1차원 디рак 모델에서 전류는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 케일리 변환은 비유계 해밀토니안을 가진 시스템에서 산란과 전류를 엄밀하게 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 분리된 해밀토니안의 순수 점 스펙트럼 및 특이 연속 스펙트럼 부분공간은 정 steady-state 전류에 기여하지 않는다.
• 소산 경계 조건 하에 있는 유한한 샘플과 의사상대론적 도파미어 네 개를 가진 시스템에 대해 확장된 체계를 사용하여 전류 공식이 도출되었다.
• 점 상호작용을 가진 1차원 디рак 모델에 대해서는 일반화된 Landauer-Büttiker 접근법을 통해 정 steady 전류가 명시적으로 계산되었다.
• 케일리 변환은 비유계이며 아래로 유계가 아닌 연산자를 일관되게 다룰 수 있도록 해주며, 이를 유계 유니터리 연산자로 변환한다.
• 스펙트럼 성질가 적절히 분석되면 비자기수반 해밀토니안을 가진 시스템에 대해서도 체계가 유효하다.
• 순수 점 스펙트럼 및 특이 연속 스펙트럼의 전류 기여가 없음을 스펙트럼 분해와 추적-클래스 고려를 통해 엄밀히 입증되었다.