[논문 리뷰] CC-distance and metric normal of smooth hypersurfaces in sub-Riemannian Carnot groups

Nicola Arcozzi, Fausto Ferrari외 1명|ArXiv.org|2009. 10. 29.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 34인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 캐노니컬 군 내의 매끄러운 비특성 초표면에 대해 메트릭 정규 벡터의 존재를 증명하고, 서브리만노비안 버전의 가우스 보조정리( Gauss Lemma )를 수립한다. 정규 CC-지오데식의 변분 공식과 자코비 유사 방정식을 유도하며, 2단계 캐노니컬 군 내의 $ C^k $-매끄러운 초표면에서의 CC-거리 함수가 특성 집합을 제외한 이웃 영역에서 $ C^k $-매끄럽다는 것을 보인다.

ABSTRACT

In this paper we study the main geometric properties of the Carnot-Carathéodory (abbreviated CC) distance $\dc$ in the setting of $k$-step sub-Riemannian Carnot groups from many different points of view. An extensive study of the so-called normal CC-geodesics is given. We state and prove some related variational formulae and we find suitable Jacobi-type equations for normal CC-geodesics. One of our main results is a sub-Riemannian version of the Gauss Lemma. We show the existence of the metric normal for smooth non-characteristic hypersurfaces. We also compute the sub-Riemannian exponential map $\exp\sr$ for the case of 2-step Carnot groups. Other features of normal CC-geodesics are then studied. We show how the system of normal CC-geodesic equations can be integrated step by step. Finally, we show a regularity property of the CC-distance function $δ\cc$ from a $\cont^k$-smooth hypersurface $S$.

연구 동기 및 목표

• 캐노니컬 군 내에서 고전적 가우스 보조정리의 서브리만노비안 유사체를 수립하기 위해.
• 서브리만노비안 캐노니컬 군 내의 매끄럽고 비특성 초표면에 대해 메트릭 정규 벡터의 존재를 증명하기 위해.
• 2단계 캐노니컬 군 내의 $ C^k $-매끄러운 초표면에서의 CC-거리 함수의 정(regularity)을 분석하기 위해.
• 2단계 캐노니컬 군 내에서 정규 CC-지오데식 방정식의 체계적 적분을 제공하기 위해.

제안 방법

• 서브리만노비안 지수 매핑을 사용하여 정규 CC-지오데식에 대한 변분 공식과 자코비 유사 방정식을 유도한다.
• 2단계 캐노니컬 군에 대해 서브리만노비안 지수 매핑 $ \mathrm{exp}_{\mathcal{SR}} $ 를 도입하고 분석한다.
• 정규 지오데식과 그 반복적 적분을 이용하여 CC-거리의 특성을 기술한다.
• CC-구면 위의 리만 노멀과의 관계를 고려하여 CC-거리 함수의 기울기와 메트릭 정규의 개념을 적용한다.
• 특성 집합을 제외한 초표면의 이웃 영역에서 유일한 가장 가까운 점 성질이 성립함을 증명한다.
• k-단계 캐노니컬 군의 구조와 2단계 경우의 CC-지오데식의 명시적 형태를 활용하여 매끄러움 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 캐노니컬 군 내에서 서브리만노비안 버전의 가우스 보조정리가 성립하는가?
• RQ2 서브리만노비안 캐노니컬 군 내의 매끄럽고 비특성 초표면에 대해 메트릭 정규를 정의할 수 있는가?
• RQ3 2단계 캐노니컬 군 내의 $ C^k $-매끄러운 초표면에서의 CC-거리 함수는 실제로 $ C^k $-매끄러운가?
• RQ4 2단계 캐노니컬 군 내에서 정규 CC-지오데식 방정식의 체계를 단계적으로 어떻게 적분할 수 있는가?
• RQ5 서브리만노비안 설정에서 매끄러운 초표면 위의 가장 가까운 점으로의 사영 맵의 정(regularity)은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 CC-거리 함수의 기울기가 메트릭 정규 벡터임을 증명하는 서브리만노비안 버전의 가우스 보조정리를 수립한다.
• 매끄럽고 비특성 초표면에 대해 캐노니컬 군 내에서 메트릭 정규 벡터가 존재하며 잘 정의되어 있음을 보인다.
• 2단계 캐노니컬 군 내에서 $ C^k $-매끄러운 초표면에서의 CC-거리 함수는 특성 집합을 제외한 이웃 영역에서 $ C^k $-매끄럽다.
• 2단계 캐노니컬 군 내에서 서브리만노비안 지수 매핑 $ \mathrm{exp}_{\mathcal{SR}} $ 가 명시적으로 계산되었다.
• CC-거리 함수의 기울기가 $ C^{k-1} $-매끄럽다는 것이 입증되었으며, 이는 거리 함수가 $ C^k $-매끄럽다는 것을 의미한다.
• 특성 집합을 제외한 초표면의 이웃 영역에서 유일한 가장 가까운 점 성질이 성립하여, 초표면 위의 가장 가까운 점이 국소적으로 유일함을 보장한다.