[논문 리뷰] Cech-De Rham theory for leaf spaces of foliations

Marius Crainic, Ieke Moerdijk|ArXiv.org|2000. 12. 10.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 분할의 잎 공간의 코homology를 위한 Cech-De Rham 모델을 제안하며, 전통적인 모델들인 분류 공간이나 호로니아 군oids와는 달리 기하학적이고 비-ハウス도르프 구조의 영향 없이 대체할 수 있는 방법을 제공한다. 직접적인 기하학적 방법을 통해 잎 공간 상에서 특성류를 구성함으로써, 잎 공간 코homology 수준에서 Bott의 퇠퇴 정리와 Poincaré 쌍대성을 확립하며, 이는 일반 특성류와 Ruelle-Sullivan 코어런트에의 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to present a ``Cech-De Rham'' model for the cohomology of leaf spaces. This model lends itself to the construction of characteristic classes (in the cohomology of classifying spaces) by explicit geometrical constructions which are immediate extensions of the standard constructions for manifolds. In particular we rediscover (and explain) the Thurston formula and the Bott formulas for cocycles on diffeomorphism groups. We also use the Cech-De Rham model to explicitly describe the relation between the cohomology of the classifying space, the basic cohomology, and the foliated cohomology of foliations.

연구 동기 및 목표

• 비-ハウス도르프 구조와 분류 공간에서의 미분 가능성 상실 등의 기존 모델의 한계를 극복하기 위해.
• 기하학적이고 직접적인 방법으로 잎 공간 $M/\mathcal{F}$ 의 코homology에 특성류를 구성하는 것, 즉 $H^*(M)$ 에서가 아니라.
• 새로운 Cech-De Rham 모델을 통해 잎 공간 코homology 수준에서 Poincaré 쌍대성과 Bott의 퇠퇴 정리를 확립하기 위해.
• 스펙트럴 시퀀스와 Van Est 유형의 사상들을 통해 새로운 코homology 모델이 기본 코homology, 분할 코homology, 호로니아 군oids의 코homology와 어떻게 연결되는지 밝히기 위해.
• Haefliger 군oids를 통한 일반 특성류의 명시적 기하학적 실현을 제공함으로써, Thurston 및 Bott의 공식을 복원하기 위해.

제안 방법

• 논문은 분할에 수직인 단면의 기저 $\mathcal{U}$ 를 사용하여 잎 공간 상의 코체인을 정의함으로써 Cech-De Rham 이중 복합체를 구성한다.
• Cech-De Rham 복합체의 총 코homology를 통해 $H^*(M/\mathcal{F})$ 라는 코homology 이론을 정의하며, 호로니아 군오이드나 분류 공간에 의존하지 않는다.
• 분할 코hom로의 연결을 위해 Van Est 사상 $\Phi: H^s(M/\mathcal{F}; \Omega^t_{\text{bas}}) \to H^s(\mathcal{F}; \Lambda^t \nu)$ 를 정의한다.
• 잎을 따라의 적분은 $\int_{\mathcal{F}}: H^p_c(\mathcal{F}) \to H^{p-q}_c(M/\mathcal{F}; \Omega^0_{\text{bas}})$ 라는 사상으로 정의되며, Van Est 사상과 쌍대 관계에 있다.
• 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 Cech-De Rham 모델이 기본 코homology와 분할 코homology와 어떻게 연결되는지 분석하며, $E^{s,t}_1 = H^s(M/\mathcal{F}; \Omega^t_{\text{bas}})$ 는 $H^{s+t}(M/\mathcal{F})$ 로 수렴한다.
• 에탈 군오이드 기법을 통해 이 모델이 호로니아 군오이드의 코homology와 준동형임을 보이며, 기존의 모델들과의 동치성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비-ハウス도르프 문제 없이 특성류의 직접적 구성이 가능한 기하학적 코hom로 이론을 구성할 수 있는가?
• RQ2 Cech-De Rham 모델이 잎 공간 코homology 수준에서 기존의 결과들, 예를 들어 Bott의 퇠퇴 정리와 Poincaré 쌍대성을 회복하는가?
• RQ3 스펙트럴 시퀀스와 자연스러운 사상들을 통해 잎 공간의 코homology, 기본 코homology, 분할 코homology 사이의 관계는 어떻게 설명되는가?
• RQ4 이 모델을 통해 Haefliger 군오이드의 일반 특성류를 기하학적으로 명시적으로 실현할 수 있는가?
• RQ5 잎을 따라의 적분과 횡방향 측도는 Ruelle-Sullivan 코어런트를 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• Cech-De Rham 모델은 기하학적이며 비-ハウス도르프 문제를 피하는 잎 공간 $M/\mathcal{F}$ 의 코homology 이론을 제공하며, 특성류의 직접적 구성이 가능하다.
• 홀로니아 커버링이 $k$-연결일 경우, $s \leq k$ 인 차수에서 Van Est 사상 $\Phi$ 는 $H^s(M/\mathcal{F}; \Omega^t_{\text{bas}})$ 와 $H^s(\mathcal{F}; \Lambda^t \nu)$ 사이의 동형사상을 유도한다.
• 잎을 따라의 적분 사상 $\int_{\mathcal{F}}$ 는 Van Est 사상과 쌍대이며, $M$ 상의 차수 $p$ 코어런트로서 Ruelle-Sullivan 코어런트의 기하학적 실현을 제공한다.
• 콤���트 지지 코homology를 갖는 Cech-De Rham 코hom로는 표준 코homology와 쌍대성을 만족하며, 이는 [10]의 Poincaré 쌍대성의 자연스러운 확장으로서, 다양체의 표준적 추론을 그대로 확장한 것이다.
• 이 모델은 Haefliger 군오이드를 통한 일반 특성류의 기하학적 구성 덕분에, Diffeomorphism 군에 대한 코호모로지의 Thurston 및 Bott 공식을 복원한다.
• 이 모델을 통해 $(M, \mathcal{F})$ 상의 횡방향 주어진 군집에 대한 특성류가 $H^*(M)$ 에서 $H^*(M/\mathcal{F})$ 로 올라가며, 모든 표준적 관계가 유지됨을 보였다.