[논문 리뷰] Cell decompositions of character varieties

Anton Mellit|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 리만 곡면의 일반적 특성 다각형에 대해 레프셰츠 성질의 흥미로운 특성을 증명하며, 브레이드와 관련된 다양체에 피복되는 벡터 복합체를 통한 세포 분해 방법을 사용한다. 주요 결과는 하우젤, 레텔리에르, 로드리게스-빌레가스의 추측을 확인하며, 가중치 필터링 하에서 코homology가 정밀한 포incare 쌍대성을 만족함을 보여주며, 혼합 호지 구조와 특성 다각형의 위상수학에 대한 함의를 지닌다.

ABSTRACT

We establish curious Lefschetz property for generic character varieties of Riemann surfaces conjectured by Hausel, Letellier and Rodriguez-Villegas. Our main tool applies directly in the case when there is at least one puncture where the local monodromy has distinct eigenvalues. We pass to a vector bundle over the character variety, which is then decomposed into cells, which look like vector bundles over varieties associated to braids by Shende-Treumann-Zaslow. These varieties are in turn decomposed into cells that look like $(\mathbb{C}^*)^{d-2k} imes \mathbb{C}^k$. The curious Lefschetz property is shown to hold on each cell, and therefore holds for the character variety. To deduce the general case, we introduce a fictitious puncture with trivial monodromy, and show that the cohomology of the character variety where one puncture has trivial monodromy is isomorphic to the sign component of the $S_n$ action on the cohomology for the character variety where trivial monodromy is replaced by regular semisimple monodromy. This involves an argument with the Grothendieck-Springer sheaf, and analysis of how the cohomology of the character variety varies when the eigenvalues are moved around.

연구 동기 및 목표

• 하우젤, 레텔리에르, 로드리게스-빌레가스가 추측한 대로, 리만 곡면의 일반적 특성 다각형에 대해 흥미로운 레프셰츠 성질을 증명하기 위해.
• 샤엔데-트루먼-자슬로 이론을 통해 브레이드와 관련된 다양체 위에 벡터 복합체를 올려 특성 다각형의 세포 분해를 확립하기 위해.
• 대칭군의 작용과 그로텐디크-스프링거 층을 이용해 특성 다각형의 코homology를 분석하여, 단순한 단일화와 정규적인 단순한 단일화를 가진 경우를 연결하기 위해.
• 코homology의 가중치 다항식이 q와 t에 대해 대칭임을 보여주어 혼합 호지 구조에서 정밀한 쌍대성을 이끌어내기 위해.
• 가짜 구멍을 도입하여 단순한 단일화를 가진 경우로의 변형을 통해 일반적인 경우로 결과를 확장하기 위해.

제안 방법

• 샤엔데-트루먼-자슬로 이론에서 유래된 브레이드 관련 다양체를 사용하여, 특성 다각형 위에 $\mathbb{C}^{*d-2k} \times \mathbb{C}^k$와 동형인 세포로 분해되는 벡터 복합체를 구성하기 위해.
• 특성 다각형에 정의된 왜곡된 심플렉틱 형식 $\omega$를 적용하고, 평행 이동과 단일화 $W$-작용 하에서 그 코homology 클래스가 보존됨을 보여주기 위해.
• 그로텐디크-스프링거 층을 사용하여 대칭군 $S_n$-작용 하에서 부호 성분을 통해 단순한 단일화를 가진 특성 다각형의 코homology와 정규적인 단순한 단일화를 가진 경우의 코homology를 연결하기 위해.
• 행렬군 $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ 위의 미분 형식과 심플렉틱 기하학을 활용하여 $\omega$의 코homology 클래스의 곡률과 평탄함을 분석하기 위해.
• 연관 미분 $[\omega]$가 $W^2$에 속함을 이용하여 평행 이동 하에서 가중치 필터링이 보존됨을 보장하기 위해.
• 컵 곱과 부호 표현을 포함하는 교환도형을 적용하여, $X_{\mathrm{sm}}^1$에서의 흥미로운 레프셰츠 성질을 $X^1$으로 이전시키기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 종수와 구멍을 가진 리만 곡면의 일반적 특성 다각형에 대해 흥미로운 레프셰츠 성질이 성립하는가?
• RQ2 단순한 단일화를 가진 특성 다각형의 코homology는 정규적인 단순한 단일화를 가진 경우와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 기하학적 세포 분해와 단일화 작용을 통해 q와 t에 대한 가중치 다항식의 대칭성이 확립될 수 있는가?
• RQ4 그로텐디크-스프링거 층은 $S_n$-작용 하에서 서로 다른 특성 다각형을 어떻게 연결하는가?
• RQ5 심플렉틱 형식 $\omega$는 평행 이동 하에서 어떻게 행동하며, 이는 코homology의 가중치 필터링에 어떤 함의를 지니는가?

주요 결과

• 모든 일반적 리만 곡면의 특성 다각형에 대해 흥미로운 레프셰츠 성질이 성립하며, 중간 가중치는 복소 차원과 일치한다. 이는 정리 8.5.2에서 증명되었다.
• 특성 다각형의 코homology는 정밀한 포incare 쌍대성을 만족한다: $\dim \operatorname{Gr}_i^W H_c^j(X,\mathbb{C}) = \dim \operatorname{Gr}_{2\dim - i}^W H_c^{j-i+\dim}(X,\mathbb{C})$.
• 가중치 다항식 $W(X;q,t)$는 q와 t에 대해 대칭이며, 이는 수정된 맥도날드 다항식의 대칭성과 펠리스틱 로그 공식에서 유도된다.
• 종수 $g=0, n=2, k=4$인 경우, 가중치 다항식은 $W(X;q,t) = q(q + t + 4)$로 주어지며, 이는 대칭성과 흥미로운 쌍대성을 확인한다.
• 심플렉틱 형식 $\omega$의 코homology 클래스는 평행 이동과 $W$-작용 하에서 보존되며, 이는 각 세포와 전반적으로 흥미로운 레프셰츠 성질이 유지됨을 보장한다.
• 단순한 단일화를 가진 가짜 구멍을 도입함으로써, 이미 알려진 정규적인 단순한 단일화를 가진 경우로의 환원이 가능하며, 이는 $S_n$-코homology의 부호 성분과 단순한 단일화를 가진 코homology 사이의 동형사상에 의해 이루어진다.