[논문 리뷰] Cellular Automata Using Infinite Computations

Louis D’Alotto|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 27.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 5인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 1차원 세포자기조직에서 유진수(Yaroslav Sergeyev)의 무한 단위 축약 원리(grossone)를 사용하여 새로운 척도를 도입한다. 이는 무한한 구성의 정확한 계산을 가능하게 하며, 전진 동역학 하에서 서로 유사한 구성의 수를 정량화한다. 고전적 극한을 무한 단위 기반 산술로 대체함으로써, 이 방법은 전통적 척도에서의 정확도 결함을 해결하고, 개방 원판과 같은 동치류 $B_{m,n}(x)$ 내의 점 수를 정확히 세는 데 기여한다.

ABSTRACT

This paper presents an application of the Infinite Unit Axiom, introduced by Yaroslav Sergeyev, (see [11] - [14]) to the development of one-dimensional cellular automata. This application allows the establishment of a new and more precise metric on the space of definition for one-dimensional cellular automata, whereby accuracy of computations is increased. Using this new metric, open disks are defined and the number of points in each disk is computed. The forward dynamics of a cellular automaton map are also studied via defined equivalence classes. Using the Infinite Unit Axiom, the number of configurations that stay close to a given configuration under the shift automaton map can now be computed.

연구 동기 및 목표

• 고전적 척도가 한쪽 방향 무한대에서의 무한한 일치를 포착하지 못하는 데서 비롯되는 한계를 극복하기 위해.
• 세포자기조직에서 사용되는 이중 무한 수열 공간 $S^{\mathbb{Z}}$에 대해 더 정확한 척도를 개발하기 위해.
• 세포자기조직 사상의 전진 반복 하에서 주어진 구성과 유사한 구성의 수를 정확히 계산할 수 있도록 하기 위해.
• 무한 단위 산술을 사용하여 동치류 $B_{m,n}(x)$의 크기를 정량화함으로써 세포자기조직의 동역학 분류를 확장하기 위해.
• 고전적 극한을 무한 단위 기반 표현으로 대체함으로써 무한합의 계산 오차를 해결하기 위해, 예를 들어 $\sum_{i=1}^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}} \frac{1}{2^i} = 1 - \frac{1}{2^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}}}$ 와 같이.

제안 방법

• 무한 단위 축약 원리를 도입하여 $|\mathbb{N}| = \hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}$로 정의함으로써 자연수의 수를 유한하지만 무한한 양으로 표현한다.
• 고전적 무한합을 무한 단위 기반 표현으로 대체함으로써 수렴 문제를 피하고 정확한 계산을 가능하게 한다. 예를 들어 $\sum_{i=1}^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}} \frac{1}{2^i} = 1 - \frac{1}{2^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}}}$ 와 같이.
• 비아르키메데스 척도 $d(x,y) = 2^{-n}$을 정의하며, 여기서 $n = \inf\{|i| : x(i) \neq y(i)\}$ 이고, 한쪽 방향 간격에서의 무한 일치를 다룰 수 있도록 확장한다.
• 개방 원판 $C_{[m,n]}(x)$를 도입하고, 무한 단위를 사용하여 그 기수를 $|S|^{2\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$} - (n - m)}$ 로 계산한다.
• 동치류 $B_{m,n}(x) = \{y \mid d(f^i(y), f^i(x)) < 2^{-|n+1-m|} \; \forall i\}$를 정의하여, 전진 반복 하에서 유사하게 유지되는 구성의 집합을 나타낸다.
• 이 프레임워크를 왼쪽 및 오른쪽 이동 사상에 적용하여, 무한 단위 산술을 사용해 $|B_{m,n}(x)| \leq |S|^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}} + 1$ 임을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 $S^{\mathbb{Z}}$ 에서 한쪽 방향 간격에서의 무한 일치(예: 오른쪽 또는 왼쪽으로 무한히 일치)를 포착하는 척도를 정의할 수 있는가?
• RQ2 세포자기조직 사상의 전진 반복 하에서 기준 구성과 주어진 거리 이내에 머무르는 구성의 정확한 수는 얼마인가?
• RQ3 새로운 계산 프레임워크를 사용하여, 고전적으로 모든 무한 불일치를 동일하게 취급하는 한계를 극복할 수 있는가?
• RQ4 무한 단위($\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}$)의 사용은 세포자기조직에서 무한합 계산의 정밀도를 어떻게 향상시키는가?
• RQ5 무한 단위 기반 척도를 사용할 때, 이동 사상 하에서 주어진 구성과 유사하게 유지되는 구성 집합의 기수는 얼마인가?

주요 결과

• 공간 $S^{\mathbb{Z}}$ 는 무한 단위를 사용하여 인덱스 0의 양쪽에서 구성의 수를 세었을 때 $|S|^{2\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$} + 1}$ 의 기수를 가진다.
• 개방 원판 $C_{[m,n]}(x)$ 는 정확히 $|S|^{2\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$} - (n - m)}$ 개의 원소를 포함한다. 이는 고전적 척도에서 기약 불가능한 무한대를 유도하는 반면, 이는 정확한 유한한 수를 제공한다.
• 왼쪽 이동 사상 $\sigma$ 에 대해 동치류 $B_{m,n}(x)$ 는 최대 $|S|^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}} + 1$ 개의 원소를 포함한다. 이는 무한 단위 산술 덕분에 가능한 정확한 수를 세는 것이다.
• 무한합 $\sum_{i=1}^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}} \frac{1}{2^i} = 1 - \frac{1}{2^{\hbox{$\displaystyle{\mbox{\char 172}}$}}}$ 는 1보다 무한소로 작으며, 이는 고전적 극한의 모호성을 해결한다.
• 무한 단위를 적용한 척도 $d(x,y) = 2^{-n}$ 은 비아르키메데스적 구조를 제공하여, 무한히 일치하더라도 첫 번째 불일치 지점에 따라 구성 간의 차이를 구분할 수 있다.
• 이 프레임워크는 구성이 주어진 초기 구성과 전진 반복 하에서 유사하게 유지되는 구성의 수를 정량화함으로써, 이전에는 고전적 무한성의 제약으로 인해 제한되었던 동역학의 정확한 계산을 가능하게 한다.