[논문 리뷰] Cellular harmonic maps which are not diffeomorphisms

F. T. Farrell, Pedro Ontaneda|ArXiv.org|2003. 11. 11.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한 차수 덮개 위의 1-파라미터 가측계량을 사용하여 비초월성인 메트릭에서 실초월성 메트릭으로 연결하는 방법을 통해, 닫힘되고 음의 곡률을 가진 리만다이만다이만에서의 조화 세포지도를 구성한다. 주요 결과는 이러한 조화 지도가 10 이상의 차원에서 존재하며, 미분형으로서의 근사가 가능하더라도 항상 미분형이 아니라는 것이다. 이는 조화 지도가 항상 미분형이 아니라는 점을 보여준다.

ABSTRACT

We give examples of harmonic cellular maps between negatively curved manifolds which are not diffeomorphisms but are homotopic to diffeomorphisms.

연구 동기 및 목표

• 닫힘되고 음의 곡률을 가진 리만다이만다이만 사이의 조화 지도가 항상 미분형이 아니라는 것을 보여주기 위해, 특히 그것들이 미분형의 극한임에도 불구하고.
• 유한 차수 덮개에서의 메트릭 변형 기법을 사용하여, 실제로는 미분형이 아닌 조화 세포지도의 구체적 예를 구성하기 위해.
• 이러한 조화 지도의 존재성과 저차원 위상수학에서의 파oincaré 추측 간의 관계를 탐색하기 위해.
• 곡률이 -1에 가까운 곡률을 갖거나 실초월성 메트릭을 갖는 다양체 사이의 조화 지도가 언제 미분형 또는 위상동형이 아니게 되는지를 규명하기 위해.
• 기존의 조화 지도와 강성에 관한 결과를 확장하여, 세포지도가 임베딩이거나 단사가 아니더라도 조화 극한으로서 나타날 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 실로 초월성은 아니지만, 플-위상동형이 아닌 닫힘된 음의 곡률을 가진 다양체가 존재함을 이용한다. 그 중 하나는 실초월성이다.
• 유한 차수 덮개를 이용하여, 비초월성 메트릭의 당겨진 사전과 실초월성 메트릭을 연결하는 1-파라미터 가측계량의 가측계량을 구성한다.
• 스무스 및 위상수학적 가짜동형 이동 이론의 결과를 활용하며, 특히 Igusa의 가짜동형 이동 공간과 안정적 가짜동형 이동 공간의 비교를 포함한다.
• 조화 지도가 리만다이만 메트릭에 대해 연속적으로 의존함을 이용하여(Sampson, Schoen-Yau, Eells-Lemaire), 극한 지도가 조화 지도임을 보장한다.
• 이중으로 압축된 곡률의 곡률 공식을 사용하여, 구성된 예에서 곡률이 -1에 가까운 것을 확인한다.
• Scharlemann의 결과를 이용하여, 일부 조화 지도가 위상동형으로 근사될 수 없음을, 파oincaré 추측과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 닫힘되고 음의 곡률을 가진 리만다이만다이만 사이의 조화 지도가 미분형이 아니더라도 세포지도일 수 있는가?
• RQ2 조화 지도가 1-파라미터 가측계량의 미분형의 극한임에도 불구하고, 그 자체로는 미분형이 아닐 수 있는가?
• RQ3 이러한 조화 지도의 존재성과 3차원에서의 파oincaré 추측 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 한쪽 다양체가 실초월성이고 다른 쪽 다양체가 -1에 ε 이내로 곡률이 압축되어 있을 때, 이러한 조화 지도가 존재할 수 있는가?
• RQ5 어떤 위상적 또는 기하학적 조건에서 조화 지도가 위상동형으로 근사될 수 없는가?

주요 결과

• 모든 차원 m > 10에 대해, 닫힘되고 음의 곡률을 가진 m차원 리만다이만다이만 M₁ → M₂ 사이의 조화 세포지도 h가 존재하며, 이는 미분형이 아니다.
• 정리 1의 조화 지도 h는 미분형으로 근사될 수 있으며, 즉 매끄러운 임베딩의 극한임을 의미한다.
• M₁ 또는 M₂ 중 하나는 실초월성 다양체로 선택할 수 있고, 나머지 하나는 임의의 ε > 0에 대해 -1에 ε 이내로 곡률이 압축된 다양체로 선택할 수 있다.
• 이 구성은 유한 차수 덮개 위의 1-파라미터 가측계량을 사용하며, 비초월성 메트릭에서 실초월성 메트릭으로 연결된다.
• 조화 지도는 미분형의 임베딩이 아니며, 그 미분이 어떤 점에서 단사가 아님을 보여준다.
• 정리 2의 추가 내용에서, 미분형과 호환되지만 위상동형으로 근사될 수 없는 조화 지도 k: M → N 이 구성되며, 이는 파oincaré 추측과 연결된다.