[논문 리뷰] Centers of KLR algebras and cohomology rings of quiver varieties

Ben Webster|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 16.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 단순 루트 시스템을 가진 카크-무디 대수에 대해, 퀘이브 변형의 코homology 링과 순환 KLR 대수의 중심 사이에 자연스러운 기하학적 이somorphism을 수립한다. 현재 대수 $\mathfrak{g}[t]$의 카테고리적 작용과 양자화와의 호환성을 이용하여, ADE 유형에서는 이 사상이 이somorphism임을 증명하고 일반적인 경우에 대해 단사임을 보이며, 키르만 전성과 분류된 표현 이론에의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

Attached to a weight space in an integrable highest weight representation of a simply-laced Kac-Moody algebra $\mathfrak{g}$, there are two natural commutative algebras: the cohomology ring of a quiver variety and the center of a cyclotomic KLR algebra. In this note, we describe a natural geometric map between these algebras in terms of quantum coherent sheaves on quiver varieties. The cohomology ring of an algebraic symplectic variety can be interpreted as the Hochschild cohomology of a quantization of this variety in the sense of Bezrukavnikov and Kaledin. On the other hand, cyclotomic KLR algebras appear as Ext-algebras of certain particular sheaves, and thus its center receives a canonical map from the Hochschild cohomology of the category. We show that this map is an isomorphism in finite type, and injective in general. We further note that the Kirwan surjectivity theorem for quivers of finite type is an easy corollary of these results. The most important property of this map is its compatibility with actions of the current algebra on both the cohomology of quiver varieties and on the Hochschild cohomology of any category with a categorical action of $\mathfrak{g}$. The structure of these current algebra actions allow us to show the desired results.

연구 동기 및 목표

• 퀘이브 변형의 코homology 링과 순환 KLR 대수의 중심 사이에 자연스러운 기하학적 사상을 수립하기.
• 이 사상이 유한 ADE 유형에서는 이somorphism이고, 일반적인 단순 루트 시스템 유형에서는 단사임을 보여주기.
• 이 사상이 양쪽 대수에 작용하는 현재 대수 $\mathfrak{g}[t]$-작용과 호환됨을 보여주기.
• 이 호환성을 이용하여, 유한 ADE 유형의 퀘이브 변형에 대해 키르만 전성을 추론하기.
• 유한 및 아핀 ADE 유형에서 $G_w$ 및 $G_w \times \mathbb{C}^*$-동차 코homology로의 일반화를 포함한 등변 설정으로 결과 확장하기.

제안 방법

• 퀘이브 변형 위의 양자화된 층의 호크시드 코hom로에서의 역상에 의한 사상 $\varphi: H^*(M^\lambda_\mu) \to Z(R^\lambda_\mu)$ 구축.
• 특히 $M^\lambda_\mu$의 기하학적 기하학적 층의 정수 주기 양자화 이론을 활용.
• 양자화 대수 $A^\mu$ 위의 모듈러의 유도 범주에 대한 $\mathfrak{g}$-카테고리적 작용을 활용하고, $R^\lambda_\mu$-dg-모듈의 범주와 동치인 부분범주 $C$를 식별.
• 키르만 함수를 적용하여, 마이크로로컬 D-모듈의 역상에 의한 퀘이브 변형의 코homology와 KLR 대수 중심을 연결.
• 기존의 코homology에 대한 작용(바라agn올로), 그리고 호크시드 코hom로에 대한 작용(벨랴코바, 하비로, 라우다, 샌, 바서로)을 이용하여 사상 $\varphi$가 양쪽에서 현재 대수 $\mathfrak{g}[t]$-작용과 가환함을 보임.
• 소스와 타겟가 모두 $\mathfrak{g}[t]$에 대한 쌍대 외부 모듈임을 이용하여 ADE 유형에서 $\varphi$가 이somorphism임을 유추함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순 루트 시스템을 가진 카크-무디 대수에 대해, 퀘이브 변형의 코homology 링과 순환 KLR 대수의 중심 사이에 자연스러운 기하학적 이somorphism이 존재하는가?
• RQ2 현재 대수 $\mathfrak{g}[t]$는 퀘이브 변형의 코homology와 KLR 대수 중심 양쪽에 어떻게 작용하며, 이 작용은 제안된 사상과 호환되는가?
• RQ3 이 기하학적 사상으로부터 퀘이브 변형의 키르만 전성이 유도될 수 있는가?
• RQ4 이 이somorphism은 유한 및 아핀 ADE 유형의 등변 코homology로 확장되는가?
• RQ5 이 사상은 퀘이브 변형 위의 층의 범주에 속한 다른 생성자로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 만약 $\mathfrak{g}$가 ADE 유형이면, 사상 $\varphi: H^*(M^\lambda_\mu) \to Z(R^\lambda_\mu)$는 대수 이somorphism이다.
• 일반적인 단순 루트 시스템 유형에서 사상 $\varphi$는 단사이지만, 반드시 이somorphism이 되는 것은 아니다.
• 사상 $\varphi$는 코homology와 호크시드 코hom로에서의 현재 대수 $\mathfrak{g}[t]$-작용과 호환된다.
• 유한 ADE 유형의 퀘이브 변형에 대해 키르만 전성이 이 이somorphism의 추론으로 유도된다.
• 유한 ADE 유형의 $G_w$-등변 설정에서 사상 $H^*_{G_w}(M^\lambda_\mu) \to Z(\widehat{R}^\lambda_\mu)$는 이somorphism이다.
• 아핀 A 유형에서 $G_w \times \mathbb{C}^*$-등변성 조건이 성립할 경우, 사상 $H^*_{G_w \times \mathbb{C}^*}(M^\lambda_\mu) \to Z(\widehat{R}^\lambda_\mu)$ 역시 이somorphism이며, 이는 타우토로지컬 번들의 체르니 클래스와 일치하는 변형 매개변수를 가진다.