[논문 리뷰] Central limit theorem for commutative semigroups of toral endomorphisms

Guy Cohen, Jean-Pierre Conze|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 16.

semigroups and automata theory참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 아벨 연결군, 특히 토러스에서 작용하는 교환 법칙을 따르는 토랄 엔도모르피즘의 반군에 대해 중심극한정리(CLT)를 수립한다. 스펙트럼 분석과 모멘트 방법을 사용하여, 다차원 영역에서 정규 함수의 정규화된 합에 대한 점근적 정규성을 증명하며, 토러스의 경우 분산의 비퇴화 조건을 제시한다.

ABSTRACT

Let $\Cal S$ be an abelian finitely generated semigroup of endomorphisms of a probability space $(Ω, {\Cal A}, μ)$, with $(T_1, ..., T_d)$ a system of generators in ${\Cal S}$. Given an increasing sequence of domains $(D_n) \subset \N^d$, a question is the convergence in distribution of the normalized sequence $|D_n|^{-\frac12} \sum_{{\k} \, \in D_n} \, f \circ T^{\,{\k}}$, for $f \in L^2_0(μ)$, where $T^{\k}= T_1^{k_1} ... T_d^{k_d}$, ${\k}= (k_1, ..., k_d) \in {\N}^d$. After a preliminary spectral study when the action of $\Cal S$ has a Lebesgue spectrum, we consider $\N^d$- or $\Z^d$-actions given by commuting toral automorphisms or endomorphisms on $\T^ρ$, $ρ\geq 1$. For a totally ergodic action by automorphisms, we show a CLT for the above normalized sequence or other summation methods like barycenters, as well as a criterion of non-degeneracy of the variance, when $f$ is regular on the torus. A CLT is also proved for some semigroups of endomorphisms. Classical results on the existence and the construction of such actions by automorphisms are recalled.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 아벨 연결군에서 서로 가환하는 엔도모르피즘의 반복을 정규화한 합에 대해 중심극한정리(CLT)를 수립하는 것.
• 정규 함수에 대해 다차원 영역 $\mathbb{N}^d$ 상에서의 덧셈 수열의 점근적 분포를 조사하는 것.
• 군이 토러스일 경우 CLT에서의 비퇴화 분산에 대한 기준을 제공하는 것.
• S-유니트와 모멘트 방법을 활용하여, 아메니타블 군 작용을 초월한 CLT 결과를 확장하는 것.
• 행동의 스펙트럼 성질을 분석하고, CLT와 관련하여 혼합성과 모멘트 감쇠 성질과 연관짓는 것.

제안 방법

• L^2_0(G)에서의 작용에 대한 스펙트럼 분석을 활용하며, 르베그 스펙트럼과 분산 분해에 중점을 둔다.
• 모멘트 방법과 모든 차수의 혼합 성질을 적용하며, Schmidt와 Ward의 S-유니트 결과에 기반한다.
• 다항식적 상관관계 감쇠를 모델링하기 위해 바리센터 $Pf = \sum_j p_j f \circ T_j$의 체계를 사용한다.
• 특히 토러스에서 컴팩트 아벨 연결군에 대한 $\mathbb{Z}^d$-작용의 엔도모르피즘 작용을 분석한다.
• 스펙트럼 measures의 구조를 이용하여 '쿼런치드' CLT를 도출하고, 다양한 합계 수열을 다룬다.
• S-유니트 결과를 적용하여 강한 혼합성과 상관관계 감쇠를 확립하며, 이는 CLT에 필수적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 정규화된 합 $|D_n|^{-1/2} \sum_{\underline{k} \in D_n} f \circ T^{\underline{k}}$ 가 정규 분포로 수렴하는가?
• RQ2 G = \mathbb{T}^d 일 때, 극한 분산의 비퇴화 조건은 무엇인가?
• RQ3 바리센터 $Pf = \sum_j p_j f \circ T_j$ 는 상관관계 감쇠와 CLT의 타당성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 지수적 상관관계 감쇠를 이용하여 토러스 위의 약한 정규 함수에 대해 CLT를 확립할 수 있는가?
• RQ5 반군의 작용이 G에서 완전히 에르고딕하고, 극한 분산이 비퇴화되도록 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 컴팩트 아벨 연결군 G에서 정규 함수 f에 대해, 정규화된 합 $|D_n|^{-1/2} \sum_{\underline{k} \in D_n} f \circ T^{\underline{k}}$ 에 대해 중심극한정리가 성립한다.
• 토러스 $G = \mathbb{T}^d$ 의 경우, 극한 분산의 비퇴화 조건이 제시되며, 이는 스펙트럼 측도와 엔도모르피즘의 구조에 따라 달라진다.
• 거의 모든 $\theta \in \mathbb{R}^d$ 에 대해, 다차원 주기도 $|D_n|^{-1/2} \sum_{\underline{k} \in D_n} e^{2\pi i \langle \underline{k}, \theta \rangle} T^{\underline{k}} f$ 에 대해서도 CLT가 성립하며, f에 대한 정규성 조건이 없어도 된다.
• 바리센터 $Pf$ 는 다항식적 상관관계 감쇠를 유도하며, 이는 비아메니타블 자동형사의 경우 관찰되는 지수적 감쇠와 대비된다.
• 행동이 완전히 에르고딕이고 f가 정규일 경우, G에서의 d차원 엔도모르피즘 작용에 대해 CLT가 성립한다.
• 증명은 연결된 군에 대해 모든 차수의 혼합성에서 유도된 S-유니트 정리와 모멘트 전개를 통해 고차 모멘트를 제어함으로써 기반한다.