[논문 리뷰] Central Limit Theorem for empirical transportation cost in general dimension

Eustasio del Barrio, Jean–Michel Loubes|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 03.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반 차원 $d \geq 1$ 에서 제곱 비용 조건 하에 경험적 운반 비용에 대한 기능적 중심극한정리(CL T)를 수립한다. 이는 경험적 운반 비용의 정규화된 편차가 기대값에서 수렴하여 약한 수렴으로 가우시안 분포로 수렴함을 보여주며, 제약 조건이 약간 있는 순간과 매끄러움 조건 하에서 최적 운반 잠재함수를 통해 한정된 분산이 명시적으로 기술된다.

ABSTRACT

We consider the problem of optimal transportation with quadratic cost between a empirical measure and a general target probability on R d , with d $\ge$ 1. We provide new results on the uniqueness and stability of the associated optimal transportation potentials , namely, the minimizers in the dual formulation of the optimal transportation problem. As a consequence, we show that a CLT holds for the empirical transportation cost under mild moment and smoothness requirements. The limiting distributions are Gaussian and admit a simple description in terms of the optimal transportation potentials.

연구 동기 및 목표

• 제곱 비용 조건 하에서 $\mathbb{R}^d$ 상의 경험적 측도와 목표 확률 측도 사이의 경험적 운반 비용에 대한 중심극한정리(CL T)를 수립하기.
• 정규화된 운반 비용의 한계 가우시안 분포를 최적 운반 잠재함수의 관점에서 기술하기.
• 유한한 순간과 목표 측도의 매끄러움 조건을 포함한 최소한의 가정 하에서 분산 경계를 제공하고 점근적 정규성을 확립하기.
• 두 개의 경험적 측도, 즉 $\mathcal{W}_2^2(P_n, Q_m)$의 경우로 CL T를 확장하기.
• 일반 측도에 대해 이전까지는 가용하지 않았던 운반 비용의 분포적 극한을 제공함으로써 통계적 응용에서의 핵심 격차를 메우기.

제안 방법

• 최적 운반 문제의 이중형식을 활용하여 이중 목표 함수의 최소화자로 최적 운반 잠재함수를 정의하고 분석하기.
• 에프론-스타인 부등식을 적용하여 경험적 운반 비용의 분산 경계를 도출함으로써 경험적 측도의 변화에 대한 안정성 확보하기.
• 진짜 최적 잠재함수 $z_0$ 주변에서 선형화 방법을 적용하여, 델타 방법을 통해 $\sqrt{n}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q) - \mathcal{W}_2^2(P, Q))$ 가 가우시안 변수로 수렴함을 보여주기.
• 경험적 잠재함수 $z_n$ 이 진짜 잠재함수 $z_0$ 로 거의 확실히 수렴함을 이용하여, 스케일 조정된 비용 차이의 점근적 정규성을 정당화하기.
• 한계 분산을 $\sigma^2(P,Q) = \text{Var}\left(\sum_{i=1}^k U_i(\|x_i\|^2 - 2z_{0,i})\right)$ 로 도출하며, 여기서 $U$ 는 다항분포 빈도로부터 유도된 공분산 행렬을 가진 중심화된 가우시안 벡터이다.
• 목표 측도 $Q$ 가 $L^{4+\delta}$ 적분 가능성을 포함한 약한 순간 조건 하에서 경험 비용이 이론적 비용으로 수렴함을 확립하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 조건 하에서 $P$ 와 $Q$ 가 $\mathbb{R}^d$ 상에 있을 때 경험적 운반 비용 $\mathcal{W}_2^2(P_n, Q)$ 는 중심극한정리(CL T)를 만족하는가?
• RQ2 $P$ 와 $Q$ 가 일반적인 확률 측도일 때 $\sqrt{n}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q) - \mathcal{W}_2^2(P, Q))$ 의 한계 분포는 무엇인가?
• RQ3 운반 비용의 한계 분산이 최적 운반 잠재함수의 관점에서 명시적으로 기술될 수 있는가?
• RQ4 $P = Q$ 일 때 경험 비용의 점근적 행동은 어떻게 변화하며, 이 경우에도 CL T 는 여전히 $\sqrt{n}$ 속도로 유효한가?
• RQ5 일반 차원 $d \geq 1$ 에서 경험적 운반 비용에 대한 CL T 가 성립하기 위한 순간과 매끄러움 조건는 무엇인가?

주요 결과

• $\sqrt{n}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q) - \mathcal{W}_2^2(P, Q))$ 에 대해 중심극한정리가 성립하며, 한계 분포는 가우시안이다.
• 한계 가우시안 분포는 평균이 0이고 분산이 $\sigma^2(P,Q)$ 이며, 이는 경험 빈도에서 유도된 가우시안 벡터의 선형 함수의 분산으로 명시적으로 기술된다.
• 약한 수렴으로서 $\sqrt{n}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q) - \mathcal{W}_2^2(P, Q)) \to \sum_{i=1}^k U_i(\|x_i\|^2 - 2z_{0,i})$ 가 성립하며, 여기서 $U$ 는 공분산 행렬 $\Sigma$ 를 가진 중심화된 가우시안 벡터이다.
• $Q$ 가 $L^{4+\delta}$ 적분 가능성을 만족할 경우 $n \cdot \text{Var}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q)) \to \sigma^2(P,Q)$ 를 만족한다.
• 일반적으로 중심화 상수 $\mathcal{W}_2^2(P,Q)$ 는 CL T 에서 $\mathbb{E}[\mathcal{W}_2^2(P_n, Q)]$ 를 대체할 수 없으며, 특히 $P = Q$ 일 경우 고차원에서의 $n^{-2/d}$ 수렴 속도로 인해 그러하다.
• $P = Q$ 이고 $d \geq 5$ 일 경우 $\sqrt{n}(\mathcal{W}_2^2(P_n, Q) - \mathbb{E}[\mathcal{W}_2^2(P_n, Q)]) \to 0$ 인 확률적 수렴이 성립하므로, 이 경우 $\sqrt{n}$ 속도는 퇴화되어 있으며, 비퇴화 극한을 얻기 위해 다른 스케일링이 필요할 수 있음을 시사한다.