[논문 리뷰] Central limit theorems for high dimensional dependent data

Jinyuan Chang, Xiaohong Chen외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 27.

Statistical Methods and Inference참고 문헌 73인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 α-혼합, m-의존성, 물리적 의존성 프레임워크 하에서 고차원의 의존적인 랜덤 벡터에 대해 비점점적 가우시안 근사 경계를 수립하며, 이전 연구보다 더 빠른 수렴 속도를 도출한다. 데이터 기반의 커널 기반 장기 공분산 추정을 사용하는 데이터 기반의 파arametric 부트스트랩을 도입하여, 의존성에 대한 구조적 가정 없이 ℓ2 및 ℓ∞-유형 통계량, 변화점 탐지, 고차원 시간 시리즈에서의 신뢰 영역에 대한 타당한 추론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Motivated by statistical inference problems in high-dimensional time series data analysis, we first derive non-asymptotic error bounds for Gaussian approximations of sums of high-dimensional dependent random vectors on hyper-rectangles, simple convex sets and sparsely convex sets. We investigate the quantitative effect of temporal dependence on the rates of convergence to a Gaussian random vector over three different dependency frameworks ($α$-mixing, $m$-dependent, and physical dependence measure). In particular, we establish new error bounds under the $α$-mixing framework and derive faster rate over existing results under the physical dependence measure. To implement the proposed results in practical statistical inference problems, we also derive a data-driven parametric bootstrap procedure based on a kernel estimator for the long-run covariance matrices. We apply the unified Gaussian and bootstrap approximation results to test mean vectors with combined $\ell^2$ and $\ell^\infty$ type statistics, change point detection, and construction of confidence regions for covariance and precision matrices, all for time series data.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 시간적 의존성 구조 하에서 고차원 의존 랜덤 벡터에 대한 비점점적 가우시안 근사 경계를 개발하는 것.
• 시간적 의존성이 고차원 중심극한정리의 수렴 속도에 미치는 영향을 정량화하는 것.
• 기존 결과에 비해 물리적 의존 측도 하에서 더 빠른 수렴 속도를 확립하는 것.
• 커널 유형의 장기 공분산 추정을 사용하는 데이터 기반의 파라미터 기반 부트스트랩 절차를 개발하는 것.
• 스parseness나 약한 의존성에 대한 가정 없이 평균 벡터, 변화점, 공분산/정밀도 행렬에 대한 타당한 통계적 추론을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 세 가지 의존성 프레임워크(α-혼합, m-의존성, 물리적 의존성) 하에서 초직사각형, 단순 볼록 집합, 희박하게 볼록한 집합에 대해 비점점적 오차 경계를 유도한다.
• 의존성 구조를 제어하기 위해 투영 기반 접근법과 모멘트 부등식을 사용하며, 물리적 의존 측도와 α-혼합 계수를 활용한다.
• 장기 공분산 행렬을 위한 커널 유형의 추정기 도입을 통해 데이터 기반의 파라미터 기반 부트스트랩 절차를 가능하게 한다.
• 헤이더의 부등식과 모멘트 조건을 사용하여 표본 공분산 행렬과 진짜 공분산 행렬 간의 ∞-노름 차이를 경계한다.
• 편향과 분산 항을 균형 잡기 위해 잘 선택된 절단 파라미터 M과 대역폭 bn을 통해 수렴 속도를 확립한다.
• 커플드 마틴게일 차이 접근법과 농도 불등식을 사용하여 부트스트랩 근사에서 꼬리 확률을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 α-혼합 프레임워크 하에서 고차원 의존 데이터의 비점점적 가우시안 근사 오차 경계는 무엇인가?
• RQ2 α-혼합 및 물리적 의존성 프레임워크에서 시간적 의존성의 강도가 고차원 중심극한정리의 수렴 속도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 기존 결과에 비해 물리적 의존 측도 하에서 더 빠른 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ4 일般적인 의존성을 가진 고차원 시간 시리즈에 대해 데이터 기반의 파라미터 기반 부트스트랩을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 제안된 프레임워크는 평균 벡터, 변화점, 공분산/정밀도 행렬에 대한 추론에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• α-혼합 프레임워크 하에서 기존 결과보다 향상된 오차 경계인 Op{B₂ₙn⁻ᶜ¹(log p)ᶜ²} + O(B₂ₙn⁻ᵖ)를 확립한다.
• 물리적 의존 측도 하에서는 기존 결과보다 더 빠른 수렴 속도를 보이며, 수렴 속도는 Op{B₂ₙn⁻ᶜ¹(log p)ᶜ²} + O(n⁻ᵖΨ₂,₀Ψ₂,α̟ₙ)로 표현되며, 여기서 ̟ₙ = (log n)I(α=1) + n¹⁻ᵃI(α≠1)이다.
• m-의존성 수열의 경우 수렴 속도는 Op{B₂ₙn⁻ᶜ¹(log p)ᶜ²} + O(B₂ₙm²n⁻ᵖ)이며, m은 의존 범위이다.
• 커널 유형의 장기 공분산 추정을 기반으로 한 데이터 기반의 파라미터 기반 부트스트랩 절차는 풍부한 집합 클래스에 대해 균일한 근사 오차 경계를 달성하여, 의존성에 대한 구조적 가정 없이 타당한 추론을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 고차원 시간 시리즈에서 ℓ² 및 ℓ∞-유형 통계량, 변화점 탐지, 공분산 및 정밀도 행렬에 대한 신뢰 영역에 대한 추론을 지원한다.
• log p = o(nᶜ̃) 조건을 만족할 경우 수렴 속도는 유효하며, 이는 고차원 점근 이론에의 적용 가능성을 보장한다.