[논문 리뷰] Central Limit Theorems for Open Quantum Random Walks and Quantum Measurement Records

Stéphane Attal, Nadine Guillotin‐Plantard외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 $\pi^d$ 위의 개방 양자 랜덤 워크(OQRWs)에 대한 중심극한정리(CLT)를 수립하며, 전이 행렬이 블록 대각형이고 각 채널이 유일한 불변 상태를 갖는 조건 하에서, 위치 과정이 명시적인 이탈과 공분산 행렬을 가진 가우시안 분포로 수렴함을 증명한다. 결과는 양자 궤적 접근을 통해 도출되며, 시스템을 위치 공간 상의 마코프 체인과 양자 상태의 조합으로 간주하고, 완전히 양성적인 사상에 의해 정의된 양자 측정 기록으로까지 확장된다.

ABSTRACT

Open Quantum Random Walks, as developed in \\cite{APSS}, are a quantum generalization of Markov chains on finite graphs or on lattices. These random walks are typically quantum in their behavior, step by step, but they seem to show up a rather classical asymptotic behavior, as opposed to the quantum random walks usually considered in Quantum Information Theory (such as the well-known Hadamard random walk). Typically, in the case of Open Quantum Random Walks on lattices, their distribution seems to always converge to a Gaussian distribution or a mixture of Gaussian distributions. In the case of nearest neighbors homogeneous Open Quantum Random Walks on $\\ZZ^d$ we prove such a Central Limit Theorem, in the case where only one Gaussian distribution appears in the limit. Through the quantum trajectory point of view on quantum master equations, we transform the problem into studying a certain functional of a Markov chain on $\\ZZ^d$ times the Banach space of quantum states. The main difficulty is that we know nothing about the invariant measures of this Markov chain, even their existence. Surprisingly enough, we are able to produce a Central Limit Theorem with explicit drift and explicit covariance matrix. The interesting point which appears with our construction and result is that it applies actually to a wider setup: it provides a Central Limit Theorem for the sequence of recordings of the quantum trajectories associated to any completely positive map. This is what we show and develop as an application of our result. In a second step we are able to extend our Central Limit Theorem to the case of several asymptotic Gaussians, in the case where the operator coefficients of the quantum walk are block-diagonal in a common basis.

연구 동기 및 목표

• 전이 행렬이 블록 대각형이고 각 채널이 유일한 불변 상태를 갖는 조건 하에서, $\mathbb{Z}^d$ 위의 근접 이웃, 동질적 OQRWs에 대해 유일한 극한 가우시안 분포로 수렴하는 중심극한정리를 수립하는 것.
• 기저 마코프 체인의 알려진 불변 측도가 없는 상황에서도 극한 가우시안 분포의 이탈과 공분산 행렬을 명시적으로 계산하는 것.
• 완전히 양성적인 사상에 의해 정의된 측정 기록으로 OQRWs의 CLT를 양자 궤적 프레임워크를 통해 확장하는 것.
• 전이 연산자가 공통 기저에서 블록 대각형일 경우, 여러 개의 점근적 가우시안 분포가 존재할 때, 극한 과정이 OQRW 법칙의 혼합임을 분석하는 것.
• 양자 궤적이 거의 확실히 여러 다른 점근적 행동 중 하나로 수렴하며, 각각 다른 불변 상태와 관련된 가우시안 극한에 대응함을 보이는 것.

제안 방법

• 전이 행렬이 블록 대각형이고 각 채널이 유일한 불변 상태를 갖는 조건 하에서, $\mathbb{Z}^d \times \mathcal{S}(\mathcal{H})$ 상의 마코프 과정으로 OQRWs를 모델링하며, $\mathcal{S}(\mathcal{H})$는 양자 상태의 공간이다. 전이 과정은 완전히 양성적인 사상에 의해 결정된다.
• 양자 궤적 형식을 사용하여 진동을 측정 결과에 조건화된 확률과정으로 표현함으로써, 동역학을 $\mathbb{Z}^d \times \mathcal{S}(\mathcal{H})$ 상의 마코프 체인과 연결한다.
• 양자 측정에 대한 대수법칙(정리 6.2)을 적용하여, 경험적 점프 빈도가 불변 상태 하에서 기대값으로 거의 확실히 수렴함을 보임.
• 가정 (H3) 하에서 서로 다른 불변 상태에 관련된 측도의 비특이성을 확립함으로써, 거의 확실히 한 가지 점근적 행동만이 지배함을 보장한다.
• 조건부 측도 $\mathbb{P}_\rho[\cdot \mid p_\infty^{(j)} = 1]$ 하에서 $\frac{X_n - n m^{(j)}}{\sqrt{n}}$ 가 $\mathcal{N}(0, C^{(j)})$ 로 분포 수렴함을 보이며, 이는 관련된 양자 궤적 마코프 체인에 대한 CLT를 응용함으로써 증명한다.
• 블록 대각형 케이스로 결과를 확장하기 위해, 과정이 각각 고유한 이탈 $m^{(j)}$ 와 공분산 $C^{(j)}$ 를 갖는 OQRW 법칙의 혼합임을 보임. 혼합 가중치는 $p_0^{(j)}$ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건 하에서 $\mathbb{Z}^d$ 위의 개방 양자 랜덤 워크가 장기적으로 가우시안 분포로 수렴하는가?
• RQ2 기저 마코프 체인의 불변 측도가 알려져 있지 않은 상황에서도, 극한 가우시안 분포의 이탈과 공분산 행렬을 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 양자 궤적 형식은 불변 측도에 대한 지식이 없는 상황에서도 OQRWs에 대한 CLT 유도에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 여러 점근적 가우시안 분포가 존재할 경우, 혼합 가중치는 무엇에 의해 결정되며, 어떤 성분이 극한 행동을 지배하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 임의의 완전히 양성적인 사상에 의해 정의된 양자 측정 기록으로까지 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 동질적이고 근접 이웃인 $\mathbb{Z}^d$ 위의 OQRWs에 대해, 위치 과정 $X_n$ 은 중심극한정리를 만족한다: $\frac{X_n - n m}{\sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0, C)$, 여기서 $m$ 과 $C$ 는 전이 행렬로부터 명시적으로 계산 가능하다.
• 이탈 벡터 $m^{(j)}$ 는 $m_k^{(j)} = \mathop{\rm Tr\,}(A_k \rho_\infty^{(j)} A_k^*)$ 로 주어지며, $\rho_\infty^{(j)}$ 는 채널 $\mathcal{L}^{(j)}$ 의 유일한 불변 상태이다.
• 공분산 행렬 $C^{(j)}$ 는 정리 5.2와 유사한 공식을 통해 계산되며, 불변 상태 하에서 점프 연산자의 두 번째 모멘트에 기반한다.
• 전이 행렬이 공통 기저에서 블록 대각형일 경우, 극한 분포는 가우시안의 혼합이며, 각 성분은 서로 다른 불변 상태에 대응한다.
• 과정은 거의 확실히 $N$ 개의 가능한 점근적 행동 중 하나로 수렴하며, $\mathbb{P}_\rho(p_\infty^{(j)} = 1) = p_0^{(j)}$ 이다. 조건부 분포 $p_\infty^{(j)} = 1$ 에서의 법칙은 $j$-번째 채널의 양자 궤적에 대응한다.
• 결과는 OQRWs를 초월하여, 완전히 양성적인 사상에 의해 정의된 임의의 양자 마스터 방정식에서 측정 기록의 수열에 대해 중심극한정리를 제공한다. 이는 양자 궤적 프레임워크를 통해 유도된다.