[논문 리뷰] Central limit theorems, Lee-Yang zeros, and graph-counting polynomials

Joel L. Lebowitz, Boris Pittel외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 18.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 31인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 생성 다항식의 영점 위치를 분석하여 조합론적 및 통계역학계에서 중심극한정리(CLT)와 국소 중심극한정리(LCLT)가 성립하는 충분조건을 확립한다. 만약 그래프 수세기 또는 그랜드 캐논리컬 분배함수의 영점이 닫힌 왼쪽 허수평면에 위치한다면, 시스템 크기가 커짐에 따라 점유된 간선 수나 입자 수가 점차 정규분포를 따르며, 양극성 실수축 근처에 영점이 존재하지 않는 조건과 분산 성장률을 통해 명시적인 경계가 도출된다.

ABSTRACT

We consider the asymptotic normalcy of families of random variables $X$ which count the number of occupied sites in some large set. We write $Prob(X=m)=p_mz_0^m/P(z_0)$, where $P(z)$ is the generating function $P(z)=\sum_{j=0}^{N}p_jz^j$ and $z_0>0$. We give sufficient criteria, involving the location of the zeros of $P(z)$, for these families to satisfy a central limit theorem (CLT) and even a local CLT (LCLT); the theorems hold in the sense of estimates valid for large $N$ (we assume that $Var(X)$ is large when $N$ is). For example, if all the zeros lie in the closed left half plane then $X$ is asymptotically normal, and when the zeros satisfy some additional conditions then $X$ satisfies an LCLT. We apply these results to cases in which $X$ counts the number of edges in the (random) set of "occupied" edges in a graph, with constraints on the number of occupied edges attached to a given vertex. Our results also apply to systems of interacting particles, with $X$ counting the number of particles in a box $Λ$ whose size approaches infinity; $P(z)$ is then the grand canonical partition function and its zeros are the Lee-Yang zeros.

연구 동기 및 목표

• 크고 큰 그래프에서 점유된 위치나 간선 수를 세는 랜덤 변수의 가속 정규성에 대한 충분조건을 확립하기.
• 생성 다항식의 영점 위치와 중심극한정리(CLT) 및 국소 중심극한정리(LCLT)의 타당성 간의 관계를 설정하기.
• 단체-디머 및 폴리머 모델에서의 결과를 더 넓은 경계의 하드코어 상호작용계로 일반화하기.
• 공간 혼합성이나 독립성 가정에 의존하지 않는 CLT 타당성에 대한 영점이 없는 영역 기준을 제공하기.
• 일반적인 상호작용 포텐셜을 가진 시스템, 특히 그랜드 캐논리컬 분배함수를 포함한 통계역학계에 이 방법을 확장하기.

제안 방법

• 생성함수 $ P(z) = \sum_{m=0}^N p_m z^m $ 를 사용하며, 여기서 $ p_m $ 는 크기 $ m $ 의 허용 가능한 구성수를 의미하고, $ \text{Prob}(X = m) = p_m z_0^m / P(z_0) $ ($ z_0 > 0 $) 를 만족한다.
• 랜덤 변수 $ X $ 가 CLT를 만족하기 위한 충분조건으로, $ P(z) $ 의 모든 영점이 닫힌 왼쪽 허수평면에 위치함을 분석한다.
• 분석은 $ z_0 $ 를 중심으로 하는 일정한 크기의 원판 내에 영점이 존재하지 않으며, $ N \to \infty $ 일 때 분산 성장 조건 $ \text{Var}(X) \gg N^{2/3} $ 이 함께 성립함에 기반한다.
• 국소 중심극한정리(LCLT)를 위해선 추가로 영점 분포에 대한 조건(예: 균일한 분리)이 필요하며, 이는 이산형 수렴을 보장한다.
• 간선 점유가 각 정점에서 제약을 받는 그래프 수세기 다항식(예: $ d_M(v) \in \{0,1,2\} $)에 이 방법을 적용하며, 이를 매칭 다항식으로 일반화한다.
• 그랜드 캐논리컬 분배함수를 통한 통계역학계로의 확장에서, $ P(z) $ 는 분배함수로 해석되며, 그 영점은 Lee-Yang 영점으로 간주된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 생성 다항식 $ P(z) $ 의 영점이 어떤 조건을 만족할 경우, 큰 그래프에서 점유된 간선 수가 중심극한정리를 만족하는가?
• RQ2 생성 다항식 $ P(z) $ 의 영점이 닫힌 왼쪽 허수평면에 위치하고 추가적인 정규성 조건을 만족할 경우, 그래프 수세기 다항식에 대해 국소 중심극한정리(LCLT)를 확립할 수 있는가?
• RQ3 특정 $ z_0 > 0 $ 를 중심으로 하는 원판 내에 영점이 존재하지 않는 것은, 공간적 구조가 없는 상황에서 $ X $ 의 점근적 정규성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 그래프의 먼 영역 간의 공간 혼합성 또는 근사적 독립성 가정 없이 중심극한정리(CLT)를 얼마나 넓게 증명할 수 있는가?
• RQ5 상호작용 포텐셜에 어떤 조건이 필요할 경우, 분배함수의 영점이 $ z_0 $ 근방을 피하게 되어 통계역학계에서 CLT 타당성이 보장되는가?

주요 결과

• 생성 다항식 $ P(z) $ 의 모든 영점이 닫힌 왼쪽 허수평면에 위치한다면, $ N \to \infty $ 일 때 점유된 간선 수나 입자 수를 세는 랜덤 변수 $ X $ 는 점차 정규분포를 따르게 된다.
• 추가 조건으로 영점 분포에 대한 조건(예: 균일한 분리 또는 중복 영점의 부재)이 성립하면, $ X $ 에 대해 국소 중심극한정리(LCLT)가 성립한다.
• CLT 는 $ \text{Var}(X) \gg N^{2/3} $ 이고 $ P(z) $ 가 $ z_0 > 0 $ 를 중심으로 하는 일정한 크기의 원판 내에 영점이 존재하지 않을 경우 성립하며, 공간적 구조가 없는 일반적인 그래프에 대해서도 성립한다.
• 하드코어 상호작용이 존재하는 시스템(예: $ d_M(v) \in \{0,1,2\} $)에서는 이 방법을 통해 점유된 간선 수에 대해 국소 CLT 를 도출할 수 있다.
• 통계역학에서, 그랜드 캐논리컬 분배함수 $ P(z) $ 가 Lee-Yang 영점이 $ z_0 $ 근방을 피할 경우, CLT 조건을 만족하며, 기존의 단체-디머 시스템 결과를 일반화한다.
• 일반적인 다체 포텐셜을 가진 시스템에 대해서도 이 방법이 적용 가능하며, 상호작용 에너지가 $ \sup_m \sum_y (1 - e^{-\beta W_+(Y_m|y)}) < \infty $ 과 $ \inf_m V(Y_m|x) > -\infty $ 를 만족할 경우, 필요한 양성과 감쇠 조건이 보장된다.