[논문 리뷰] Central Lyapunov exponent of partially hyperbolic diffeomorphisms of $\mathbb{T}^3$

Gabriel Ponce, Ali Tahzibi|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 04.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 3차원 토러스 𝕋³ 위에서 체적을 보존하는 부분적으로 초구형 미분형사들을 구성한다. 이들은 아노소프 지도와 동치위상일 뿐만 아니라, 오히려 모순적인 행동을 보인다: 선형화된 아노소프 지도는 중심 방향 수축을 보이지만, 거의 곳곳에서 중심 리아풀로프 지수는 양수이다. 선형 아노소프 지도의 고유값이 0, 1, ∞으로 수렴하는 수열을 이용해, 바라비에라-보나티의 국소 C¹ 변형 기법을 적용함으로써, 중심 방향의 비균일한 초구형 역학을 만들어내며, 이는 선형화된 시스템의 수축과 정반대되는 중심 팽창을 야기한다. 이는 국소 리아풀로프 지수와 전역 위상기하학 사이의 근본적인 괴리성을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we construct some "pathological" volume preserving partially hyperbolic diffeomorphisms on $ oro{3}$ such that their behaviour in small scales in the central direction (Lyapunov exponent) is opposite to the behavior of their linearization. These examples are isotopic to Anosov. We also get partially hyperbolic diffeomorphisms isotopic to Anosov (consequently with non-compact central leaves) with zero central Lyapunov exponent at almost every point.

연구 동기 및 목표

• 3차원 토러스 𝕋³ 상에서 비선형 부분적으로 초구형 미분형사의 중심 리아풀로프 지수와 그 선형화된 시스템 간의 괴리성을 조사하는 것.
• 체적을 보존하는 부분적으로 초구형 미분형사들을 구성함으로써, 아노소프 지도와 동치위상이지만 중심 리아풀로프 지수가 양수인 사례를 제공하는 것. 이는 선형화된 시스템에서 중심 방향이 수축하기는 하지만, 비선형 시스템에서는 중심 방향으로 팽창이 일어나는 현상이다.
• 중앙 리아풀로프 지수가 0일 경우의 위상기하학적 함의, 특히 중심 리만의 컴팩트성과의 관계를 탐구하는 것.
• 중앙 리만의 절대연속성의 역할을 중심 지수가 0일 경우에 대해 분석하는 것.

제안 방법

• 고유값 λᵏˢ → 0, λᵏᶜ → 1, λᵏᵘ → ∞이며, 고유벡터가 고정된 정규직교기저로 수렴하는 𝕋³ 위의 선형 아노소프 미분형사 수열을 사용한다.
• 바라비에라-보나티의 국소 C¹ 변형 기법을 적용하여 선형 지도를 수정하고, 평균적으로 중심 리아풀로프 지수가 양수가 되는 새로운 부분적으로 초구형 미분형사를 생성한다.
• 연속성 추론을 통해 중심 리아풀로프 지수의 적분이 0이 되는 미분형사를 찾으며, 이는 거의 모든 곳에서 지수 0을 의미한다.
• 아니소프와 동치위상이면서 중심 지수가 0인 미분형사가 비에르고딕일 경우, 힘머라인들 및 우레스의 결과에 기반해 반드시 비에르고딕이어야 한다는 점을 이용한다.
• 적합한 노름을 사용해 불변 원추 가닥을 구성하고, 작은 C¹ 노름 범위 내에서 변형이 절대 부분적으로 초구형 조건을 유지함을 보여준다.
• 변형된 미분형사들이 균일한 팽창과 수축을 보이며, 제어된 왜곡을 갖는 원추 영역에서 균일하게 초구형임을 검증함으로써, 결과로 얻어진 미분형사들이 절대 부분적으로 초구형임을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 토러스 𝕋³ 상에서 체적을 보존하는 부분적으로 초구형 미분형사가 아노소프 지도와 동치위상이면서도 중심 리아풀로프 지수가 양수일 수 있는가? 이는 선형화된 시스템이 중심 방향으로 수축하는 것과 정면으로 배치된다.
• RQ2 3차원 토러스 상의 부분적으로 초구형 시스템에서 중심 리만의 위상기하학(컴팩트 대 비컴팩트)과 중심 리아풀로프 지수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 중앙 리아풀로프 지수가 0이면서 중심 리만이 비컴팩트인 부분적으로 초구형 미분형사의 중심 리만은 반드시 절대연속적이지 않은가?
• RQ4 중앙 리아풀로프 지수가 거의 모든 곳에서 0이 되는 경우, 중심 리만의 절대연속성은 리만의 컴팩트성과 필수적으로 관련되는가?
• RQ5 체적을 보존하고, 아노소프 지도와 동치위상이며, 중심 리아풀로프 지수가 0인 비에르고딕인 예를 3차원 토러스 𝕋³ 상에서 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 𝕋³ 위에서 체적을 보존하는 부분적으로 초구형 미분형사들의 열린 집합이 존재하며, 거의 모든 점에서 중심 리아풀로프 지수가 양수이다. 이는 선형화된 지도가 중심 방향 수축을 보이지만도 여전히 성립한다.
• 구성된 미분형사들은 아노소프 지도와 동치위상이며, 선형화된 시스템과는 반대로 중심 방향의 점근적 성장 방향이 뒤바뀌어 있다.
• 중앙 리아풀로프 지수가 거의 모든 곳에서 0이며, 중심 리만이 비컴팩트인 예가 구성되었으며, 이는 선형화된 시스템과의 위상기하학적 대비를 보여준다.
• 0 지수 예의 에르고딕성은 아직 미해결이지만, 연속성과 힘머라인 및 우레스의 결과를 통해 평균 지수가 0임이 입증되었다.
• 0 지수 예의 중심 리만은 추측으로서 절대연속적이지 않지만, 아직 증명되지 않았다.
• 변형 기법은 결과로 얻어진 미분형사들이 절대 부분적으로 초구형임을 유지함을 보장하며, 작은 C¹ 노름 범위 내에서 불변 원추 구조를 유지한다.