[논문 리뷰] Centrality measures in simplicial complexes: applications of TDA to Network Science

Daniel Hernández Serrano, Darío Sánchez Gómez|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 08.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복잡한 네트워크에서 다수의 에이전트 간 상호작용을 모델링하기 위해 고차원 인접성, 차수, 산책로 및 거리 개념을 확장하여 심플렉스 복합체에 대한 새로운 중심성 측정법을 제안한다. 이는 클로즈니스, 베타윈스, 클러스터링 계수를 심플렉스 구조로 일반화하여 다수의 상호작용을 포함하는 네트워크에서 공동체의 관련성과 위상적 역학을 분석할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

Many real networks in social sciences, biological and biomedical sciences or computer science have an inherent structure of simplicial complexes reflecting many-body interactions. Using the recently introduced higher order notions of adjacency and degree for simplices in a simplicial complex, we define new centrality measures in simplicial complexes which contain meaningful information about the relevance of an agent, and of a simplicial community of agents, in terms of other collaborative simplicial communities or sub-communities. These measures allow not only to study the relevance of a simplicial community in a network, but also to elucidate topological and dynamical properties of simplicial networks. We start by defining centrality measures associated with the notions of generalised higher order degrees valid for any dimensional comparison, they are needed to understand the relations among different collaborative simplicial communities and to study higher order degree distributions in simplicial complex networks. We then define notions of walks and distances in simplicial complexes to study connectivity of simplicial networks and to generalise, to the simplicial case, the well known closeness and betweenness centralities (needed for instance to study the relevance of a simplicial community in terms of its ability of transmitting information). Finally, we define a clustering coefficient for simplices in a simplicial complex which generalises the standard graph clustering of a vertex and is essential to know not only the clustering around a node, but the clustering around a simplicial community in a simplicial network, and it might help to understand how cliques and simplicial communities evolve in a simplicial network.

연구 동기 및 목표

• 다수의 상호작용을 포함하는 네트워크에서 개별 에이전트와 심플렉스 공동체의 관련성을 포괄하는 중심성 측정법을 개발하기 위해.
• 그래프 수준의 중심성 개념—클로즈니스, 베타윈스, 클러스터링—을 심플렉스 복합체 프레임워크로 일반화하기 위해.
• 심플렉스 네트워크에서 고차원 차수 분포와 연결 패턴을 연구할 수 있도록 하기 위해.
• 고차원 네트워크에서 클리크와 협업 공동체의 진화 및 구조적 성질을 이해하기 위해.

제안 방법

• 다양한 차원에서의 연결성을 측정하기 위해 심플렉스에 대한 일반화된 고차원 차수를 제안한다.
• 네트워크의 연결성과 정보 흐름을 평가하기 위해 심플렉스 복합체 내 산책로와 거리 정의를 한다.
• 정점 클러스터링을 고차원 공동체로 일반화한 심플렉스 클러스터링 계수를 도입한다.
• 심플렉스 복합체 내 거리 기반 측정법을 사용하여 클로즈니스 및 베타윈스 중심성을 심플렉스로 확장한다.
• 심플렉스 구조를 활용하여 인접성과 차수 관계를 통해 협업 공동체와 그 상호관계를 모델링한다.
• 심플렉스 네트워크의 역학적 및 위상적 성질을 분석하기 위해 위상적 데이터 분석(TDA) 원리를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 중심성 측정법을 고차원 네트워크에서 심플렉스 공동체의 관련성을 포괄하도록 일반화할 수 있는가?
• RQ2 심플렉스 복합체에서 연결성과 공동체 구조를 특성화하는 데 있어 고차원 차수의 역할은 무엇인가?
• RQ3 심플렉스 복합체에서 산책로와 거리 정의가 클로즈니스 및 베타윈스 중심성의 일반화를 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ4 제안된 클러스터링 계수는 개별 노드를 초월하여 공동체 수준의 클러스터링을 어떻게 드러내는가?
• RQ5 이러한 새로운 측정법은 심플렉스 네트워크에서 클리크와 협업 공동체의 진화를 이해하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 제안된 고차원 중심성 측정법은 심플렉스 네트워크에서 개별 심플렉스와 협업 공동체의 관련성을 성공적으로 측정한다.
• 심플렉스 복합체로의 클로즈니스 및 베타윈스 중심성 일반화를 통해 고차원 구조를 통해의 정보 전달 효율성을 평가할 수 있다.
• 심플렉스 클러스터링 계수는 공동체 수준의 클러스터링을 포착하여 클리크와 하위 공동체의 형성 및 안정성에 대한 통찰을 제공한다.
• 고차원 차수 분포는 다양한 차원의 심플렉스 간 구조적 이질성과 연결 패턴을 드러낸다.
• 통합적이고 확장 가능한 측정법을 통해 심플렉스 네트워크의 위상적 및 역학적 성질 분석이 가능해진다.
• TDA와 네트워크 과학의 통합은 다수의 상호작용을 포함하는 복잡한 시스템을 연구하기 위한 견고한 기반을 제공한다.