[논문 리뷰] Centralizing automorphisms and Jordan left derivations on $σ$-prime rings

Lahcen Oukhtite, S. Salhi|ArXiv.org|2009. 02. 04.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 10인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 σ-소수환에 대한 기본 보조정리를 확립한다: 만약 σ-아벨리안 이상 U가 비중심이고, R의 원소 a, b가 aUb = σ(a)Ub = 0을 만족한다면, a = 0 또는 b = 0이다. 이 결과는 중심화하는 자기환형이 σ-제곱폐쇄된 아벨리안 이상에 대해 작용할 경우 그 이상이 중심에 포함됨을 증명하는 데 응용되며, 아워타르의 결과를 확장하여 이러한 이상에서의 조르단 왼쪽 미분법이 실제로 왼쪽 미분법임을 보여주며, 고전적인 결과들을 σ-소수환과 호환되는 자기환형으로 일반화한다.

ABSTRACT

Let $R$ be a 2-torsion free $σ$-prime ring. It is shown here that if $U ot\subset Z(R)$ is a $σ$-Lie ideal of $R$ and $a, b$ in $R$ such that $aUb=σ(a)Ub=0,$ then either $a=0$ or $b=0.$ This result is then applied to study the relationship between the structure of $R$ and certain automorphisms on $R$. To end this paper, we describe additive maps $d: R \longrightarrow R$ such that $d(u^2) = 2ud(u)$ where $u\in U,$ a nonzero $σ$-square closed Lie ideal of $R.$

연구 동기 및 목표

• 소수환에서의 메인의 결과를 σ-소수환으로 일반화하기.
• 이전 결과에서 중심화하는 자기환형에 대해 특정 원소 u₀ ∈ Saσ(R)가 존재하여 Ru₀ ⊂ U임을 가정할 필요를 제거하기.
• 아워타르의 조르단 왼쪽 미분법 결과를 σ-소수환의 σ-제곱폐쇄된 아벨리안 이상으로 확장하기.
• 2-토르션 자유 σ-소수환에서 σ-제곱폐쇄된 아벨리안 이상에서의 조르단 왼쪽 미분법이 실제로 왼쪽 미분법임을 증명하기.

제안 방법

• 핵심 보조정리를 도입: U가 비중심인 σ-아벨리안 이상이고 aUb = σ(a)Ub = 0이라면, a = 0 또는 b = 0이다.
• 이 보조정리를 활용해 이전 결과에서 u₀ 조건을 제거한다.
• 교환자 항등식과 σ-환형의 성질을 이용해 σ-아벨리안 이상의 구조를 분석한다.
• 문헌 [7]의 보조정리 6과 보조정리 7을 활용하여 덧셈형 사상이 d(u²) = 2ud(u)를 만족할 경우 항등식을 유도한다.
• 기본 보조정리를 적용하여 x,y ∈ U ∩ Saσ(R)에 대해 d([x,y]) = 0 또는 [x,y]u[x,y] = 0임을 도출하고, 이로부터 d(xy) = xd(y) + yd(x)를 유도한다.
• 분해 u = (u + σ(u))/2 + (u - σ(u))/2를 사용해 Saσ(R) ∩ U에서의 결과를 전체 U로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 σ-제곱폐쇄된 아벨리안 이상에서 중심화하는 자기환형이 작용할 경우, 어떤 조건에서 그 이상이 σ-소수환의 중심에 포함되는가?
• RQ2 중심화하는 자기환형에 관한 결과에서, Ru₀ ⊂ U를 만족하는 특정 원소 u₀ ∈ Saσ(R)의 존재 조건을 가정에서 제거할 수 있는가?
• RQ3 2-토르션 자유 σ-소수환의 σ-제곱폐쇄된 아벨리안 이상에서 모든 조르단 왼쪽 미분법은 실제로 왼쪽 미분법인가?
• RQ4 σ-환형과 σ-소수성의 성질이 아벨리안 이상과 미분법의 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 기본 보조정리가 성립함: U가 비중심인 σ-아벨리안 이상이고 aUb = σ(a)Ub = 0이라면, a = 0 또는 b = 0이다.
• 중심화하는 자기환형이 σ-제곱폐쇄된 아벨리안 이상을 중심에 포함시키기 위해 Ru₀ ⊂ U 조건을 만족하는 어떤 u₀ ∈ Saσ(R)가 존재할 필요가 없다.
• 모든 u ∈ U에 대해 d(u²) = 2ud(u)를 만족하는 덧셈형 사상 d에 대해, 모든 u,v ∈ U에 대해 d(uv) = ud(v) + vd(u)임이 도출된다.
• 이 결과는 아워타르의 정리에 따라 조르단 왼쪽 미분법을 σ-소수환으로 확장하여, σ-제곱폐쇄된 아벨리안 이상에서 조르단 왼쪽 미분법이 실제로 왼쪽 미분법임을 보여준다.
• 모든 조르단 왼쪽 미분법은 2-토르션 자유 σ-소수환에서 왼쪽 미분법이며, 이를 정리 1에서 명시한다.
• 증명은 Saσ(R)의 원소를 분석하고, 환형을 이용해 대칭 원소에서의 항등식을 전체 이상의 원소로 확장하는 데 의존한다.