[논문 리뷰] Certain classes of bi-univalent functions related to Shell-like curves connected with Fibonacci numbers

N. Magesh, V. K. Balaji외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 15.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 껍질 모양 곡선과 피보나치 수열과 관련된 새로운 이중해석 함수의 클래스를 제안하며, 두 번째 및 세 번째 테일러-맥클라린 계수에 대한 추정과 페케테-슈에고 부등식을 도출한다. 일반화된 미분 연산자를 통해 위상관계와 계수의 경계를 이용하여, 황금비와 관련된 매개수 $\tau = (1 - \sqrt{5})/2$ 를 포함한 날카운 경계를 수립하며, 복소평면 내 이중해석 함수에 대한 이전 결과들을 확장한다.

ABSTRACT

Recently, in their pioneering work on the subject of bi-univalent functions, Srivastava et al. \cite{HMS-AKM-PG} actually revived the study of the coefficient problems involving bi-univalent functions. Inspired by the pioneering work of Srivastava et al. \cite{HMS-AKM-PG}, there has been triggering interest to study the coefficient problems for the different subclasses of bi-univalent functions. Motivated largely by Ali et al. \cite{Ali-Ravi-Ma-Mina-class}, Srivastava et al. \cite{HMS-AKM-PG} and Güney et al. \cite{HOG-GMS-JS-Fib-2018} in this paper, we consider certain classes of bi-univalent functions related to shell-like curves connected with Fibonacci numbers to obtain the estimates of second, third Taylor-Maclaurin coefficients and Fekete - Szegö inequalities. Further, certain special cases are also indicated. Some interesting remarks of the results presented here are also discussed.

연구 동기 및 목표

• 껍질 모양 곡선과 피보나치 수열과 관련된 새로운 이중해석 함수의 부분류를 도입하고 연구하기.
• 이들 부분류에서 두 번째 및 세 번째 테일러-맥클라린 계수 $|a_2|$ 와 $|a_3|$ 에 대한 날카운 추정을 도출하기.
• 계수 함수기능 $|a_3 - \mu a_2^2|$ 에 대한 페케테-슈에고 유형의 부등식을 수립하기.
• 단위 원판 내 이중해석 함수에 대한 계수 경계에 관한 이전 결과들을 일반화하고 확장하기.

제안 방법

• 저자들은 피보나치 수열과 황금비와 연결된 생성 함수 $\tilde{p}(z)$ 를 사용하여, 위상관계를 이용해 새로운 부분류 $\mathcal{F}\mathcal{S}\mathcal{L}_\Sigma(\gamma,\lambda,\tilde{p})$, $\mathcal{B}\mathcal{S}\mathcal{L}_\Sigma(\gamma,\alpha,\tilde{p})$, 및 $\mathcal{H}\mathcal{S}\mathcal{L}_\Sigma(\gamma,\tilde{p})$ 를 정의한다.
• 해석 함수가 단위 원판 $\mathbb{D}$ 내에서 단일성과 이중해석성을 확보하기 위해 미분 연산자 $\mathcal{D}^n$ 을 사용한다.
• 핵심 기법은 계수 경계를 위상관계를 통해 표현하고, 해석 함수의 실부를 제어하기 위해 카라테오도리 함수류 $\mathcal{P}$ 를 적용하는 것이다.
• 페케테-슈에고 부등식은 매개수 $\mu$ 에 따라 달라지는 기능 $h(\mu)$ 를 사용하여 유도되며, $|h(\mu)|$ 의 크기에 따라 조각별 경계를 갖는다.
• 매개수 $\tau = (1 - \sqrt{5})/2 \approx -0.618$ 는 중심적인 역할을 하며, 황금비에서 유래하여 껍질 모양 곡선의 기하학적 성질을 정의한다.
• 특수한 경우에서 결과가 [10]과 [23]의 기존 경계로 수렴함을 보여 이전 연구와의 일관성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 껍질 모양 곡선과 피보나치 수열과 관련된 이중해석 함수에서 두 번째 및 세 번째 테일러-맥클라린 계수 $|a_2|$ 와 $|a_3|$ 의 날카운 추정은 무엇인가?
• RQ2 이 새로운 부분류에서 계수 함수기능 $|a_3 - \mu a_2^2|$ 에 대한 페케테-슈에고 부등식은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 매개수 $\tau = (1 - \sqrt{5})/2$ 는 계수 경계와 함수의 기하학적 성질을 어떻게 형성하는가?
• RQ4 이 새로운 부분류는 이중해석 함수에 대한 이전 결과들을 어떻게 일반화하거나 확장하는가? 특히 [10]과 [23]의 결과들과의 관계에서 어떻게 되는가?
• RQ5 $\gamma$, $\lambda$, 또는 $\alpha$ 가 0 또는 기타 임계 값으로 수렴할 때 계수 경계의 극한 행동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• $\mathcal{F}\mathcal{S}\mathcal{L}_\Sigma(\gamma,\lambda,\tilde{p})$ 에서 $|a_2|$ 의 경계는 $\frac{|\gamma||\tau|}{\sqrt{3\gamma\tau(1+2\lambda) + 4(1-3\tau)(1+\lambda)^2}}$ 로, $\gamma$, $\lambda$, $\tau$ 에 명시적으로 의존한다.
• 동일한 부분류에서 $|a_3|$ 의 경계는 $\frac{4|\gamma||\tau|(1-3\tau)(1+\lambda)^2}{3(1+2\lambda)[3\gamma\tau(1+2\lambda) + 4(1-3\tau)(1+\lambda)^2]}$ 로, $\gamma$, $\lambda$, $\tau$ 에 비선형적으로 의존한다.
• 페케테-슈에고 함수기능 $|a_3 - \mu a_2^2|$ 에서의 경계는 조각별로 정의된다: $|h(\mu)| \leq \frac{|\gamma||\tau|}{12+24\lambda}$ 이면 $\frac{|\gamma||\tau|}{3+6\lambda}$, 그 외의 경우 $4|h(\mu)|$ 이며, $h(\mu)$ 는 $\mu$, $\gamma$, $\tau$ 의 유리함수로 정의된다.
• 특수한 경우 $\gamma = 1$, $\lambda = 0$ 에서 경계는 [10, 보조정리 1]의 결과로 축소되며, $\mathcal{S}\mathcal{L}_\Sigma(\tilde{p})$ 에 대한 알려진 결과와 일致함을 확인한다.
• $\mathcal{K}\mathcal{S}\mathcal{L}_\Sigma(\tilde{p})$ 에서 $|a_2|$ 의 경계는 $\frac{|\tau|}{\sqrt{4 - 10\tau}}$, $|a_3|$ 의 경계는 $\frac{|\tau|(1 - 4\tau)}{6 - 15\tau}$ 로, [10, 보조정리 5]와 일致한다.
• 매개수 $\tau = (1 - \sqrt{5})/2$ 가 근본적임이 입증되었으며, 황금비에서 유래하여 껍질 모양 곡선의 기하학을 지배하며 결과들이 피보나치 수열과 연결됨을 보여준다.