[논문 리뷰] Certain logarithmic integrals, including solution of Monthly problem #tbd, zeta values, and expressions for the Stieltjes constants

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 16.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 오랫동안 남아 있던 로그 적분 문제를 해결하며, Re(σ) > −1 인 경우 ∫₀¹[(1/ln x) + (1/(1−x))]²x^σ dx 에 대한 닫힌 표현을 유도한다. 이는 Monthly 문제를 일반화한 것으로, Nörlund 수 Bₙ⁽ⁿ⁾ 과 관련된 계수 pₙ 을 도입하고, 생성함수와 초함수 항등식을 사용하여 Stieltjes 상수와 제타 함수 값의 표현을 제공하며, γ₁, γ₂ 및 Hurwitz 제타 함수에 대한 새로운 적분 표현을 제시한다.

ABSTRACT

We solve problem x proposed by O. Oloa, AMM xxx 2012 {\bf 119?} (to appear), p. yyy for certain definite logarithmic integrals. A number of generating functions are developed with certain coefficients $p_n$, and some extensions are presented. The explicit relation of $p_n$ to Nörlund numbers $B_n^{(n)}$ is discussed. Certain inequalities are conjectured for the $\{p_n\}$ sequence of coefficients, including its convexity, and an upper bound is demonstrated. It is shown that $p_n$ values may be used to express the Stieltjes constants for the Hurwitz and Riemann zeta functions, as well as values of these zeta functions at integer argument. Other summations with the $p_n$ coefficients are presented.

연구 동기 및 목표

• O. Oloa 가 2012년에 제기한 특정 로그 적분의 평가에 관한 문제를 해결하는 것.
• Re(σ) > −1 인 경우 ∫₀¹[(1/ln x) + (1/(1−x))]²x^σ dx 에 대한 닫힌 표현을 도출하여, 원래 문제의 σ ≥ 0 제약 조건을 초월하는 것.
• 계수 pₙ 과 알려진 특수 수, 특히 Nörlund 수 Bₙ⁽ⁿ⁾ 간의 관계를 확립하고 그 해석적 성질을 탐구하는 것.
• 리만 및 Hurwitz 제타 함수의 Stieltjes 상수 γₖ 를 pₙ 계수와 적분 표현을 통해 표현하는 것.
• 로그 적분의 구조를 반영하는 새로운 생성함수와 적분 표현을 개발하며, 이를 다이감마 함수 및 Barnes G-함수와 연결하는 것.

제안 방법

• 계수 pₙ 을 pₙ₊₁ = (−1)ⁿ⁺¹/n! ∫₀¹(−x)ₙ dx 로 정의하며, 여기서 (x)ₙ 은 Pochhammer 기호이다.
• 생성함수 ∑ₙ₌₁^∞ pₙ₊₁ zⁿ⁻¹ = 1/z + 1/ln(1−z) 를 도출하여, |z| < 1 인 범위에서 pₙ 이 적분의 로그적 및 유리적 부분과 연결됨을 보여준다.
• 급수의 곱셈과 미분을 통해 항등식 (1/ln(1−z) + 1/z)² = 1/4 + ∑ₙ₌₁^∞[(n+3)pₙ₊₃ − npₙ₊₂]zⁿ 을 유도하고, 이를 통해 일괄 적분이 가능하게 한다.
• 모멘트 적분 ∫₀¹[(1/ln x)+(1/(1−x))]²x^σ dx 를 pₙ 과 B(n+1, σ+1) 를 포함하는 급수로 표현하기 위해 Beta 함수 B(n+1, σ+1) 를 적용한다.
• Hurwitz 제타 함수 및 Lerch 제타 함수의 적분 표현과 초함수 항등식을 활용하여 제타 값과 Stieltjes 상수를 표현한다.
• 적분 항등식 ∫₀¹ x^σ ψ(x+1) dx = 1 − ½ ln(2π) 과 Barnes G-함수의 성질을 사용하여 최종 표현의 상수항을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Re(σ) > −1 인 경우 ∫₀¹[(1/ln x) + (1/(1−x))]²x^σ dx 의 닫힌 표현 평가는 무엇인가?
• RQ2 계수 pₙ 은 어떻게 정의되며, Nörlund 수 Bₙ⁽ⁿ⁾ 와의 관계는 무엇인가?
• RQ3 리만 및 Hurwitz 제타 함수의 Stieltjes 상수 γₖ 는 pₙ 계수로 표현될 수 있는가?
• RQ4 pₙ 의 구조를 활용하여 Hurwitz 제타 함수와 그 도함수에 대한 적분 표현을 유도할 수 있는가?
• RQ5 합성 항등식 (n+3)pₙ₊₃ − npₙ₊₂ = ∑ₖ₌₁ⁿ⁺¹ pₖ₊₁pₙ₋ₖ₊₃ 를 설명하는 조합론적 또는 초함수 항등식이 존재하는가?

주요 결과

• ∫₀¹[(1/ln x) + (1/(1−x))]² dx 는 정확히 ln(2π) − 3/2 로 평가되며, Monthly 문제의 (a) 항목을 해결한다.
• Re(σ) > −1 인 경우 일반화된 적분은 (σ+1)ln(σ+1) − 2σ + σψ(σ+1) − 2lnΓ(σ+1) + ln(2π) − 3/2 로 평가되며, 여기서 ψ 와 Γ 는 다이감마 함수와 감마 함수를 나타낸다.
• 계수 pₙ 은 재귀식 pₙ₊₁ = 1/(n+1) − ∑ⱼ₌₁ⁿ⁻¹ pⱼ₊₁/(n−j+1) 을 만족하며, 명시적인 표현 pₙ₊₁ = (−1)ⁿ⁺¹/n! ∑ₖ₌₁ⁿ s(n,k)/(k+1) 로 주어진다. 여기서 s(n,k) 는 제1종 스테링 수이다.
• 수열 {pₙ} 은 볼록성과 상한 유계성을 갖는 것으로 추측되며, n ≥ 5 에 대해 pₙ₊₁ ≤ pₙ 이라는 부등식이 증명되었다.
• Stieltjes 상수 γ₁ 과 γ₂ 는 다이로그함수 및 그 도함수를 포함하는 적분을 통해 표현된다: γ₁ + γ² = ∫₀^∞ [γ ln(1+1/u) + ∂ₛ|ₛ₌₁ Liₛ(−1/u)] / (ln²u + π²) du.
• 새로운 적분 표현이 도출되었다: ζ(s) − 1/(s−1) = −∫₀^∞ Liₛ(−v) / [v²(ln²v + π²)] dv 로, 이는 s=1 에서 k-번째 도함수로 일반화되어 γₖ 를 표현한다.