[논문 리뷰] Certain unified integral formulas involving the generalized modified k-bessel function of first kind

Kottakkaran Sooppy Nisar, Saiful R. Mondal|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 25.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 수정 k-베셀 함수의 제1종과 관련된 두 개의 통합 적분 공식을 도출하며, 이를 일반화된 k-라이트 함수를 통해 표현한다. 결과는 기존의 베셀 함수 적분 공식을 일반화하고 k-해석학을 통해 오버헤팅거의 적분 공식을 확장하며, 특정 경우에 매개수 치환을 통해 고전적 결과를 회복한다.

ABSTRACT

Generalized integral formulas involving the generalized modified k-Bessel function $J_{k,ν}^{c,γ,λ}\left( z ight) $ of first kind are expressed in terms generalized $k-$Wright functions. Some interesting special cases of the main results are also discussed

연구 동기 및 목표

• 일반화된 수정 k-베셀 함수의 제1종을 포함하는 새로운 일반화된 적분 공식을 수립하기 위해.
• 이러한 적분 공식을 일반화된 k-라이트 함수를 통해 표현하여, 고전적 하이퍼기하급수 및 베셀 함수 적분 표현을 확장하기 위해.
• 일반화된 k-파arameter 프레임워크 아래에서 기존의 베셀 및 수정 베셀 함수 적분 공식을 통합하기 위해.
• 매개수 치환을 통해 채이와 아그라왈의 알려진 결과를 특수한 경우로 회복하기 위해.
• k-감마 및 Pochhammer 함수의 k-해석학을 사용하여 오버헤팅거의 적분 공식을 확장하기 위해.

제안 방법

• k-Pochhammer 기호와 k-감마 함수를 포함하는 급수를 통해 일반화된 수정 k-베셀 함수의 제1종을 도입한다.
• 기본 적분 커널로 삼기 위해 오버헤팅거의 적분 공식을 활용하며, 식 $ (x + a + \sqrt{x^2 + 2ax})^{-\nu} $ 를 포함한다.
• 유일한 수렴성을 적용하여 도출된 공식에서 합과 적분의 순서를 바꾸는 것을 정당화한다.
• k-감마 함수 항등식 $ \Gamma_k(z) = k^{z/k - 1} \Gamma(z/k) $ 를 사용하여 k-의존 항을 고전적 감마 함수로 변환한다.
• 최종 결과를 일반화된 k-라이트 함수 $ {}_{k,2}\Psi_3 $ 를 통해 표현하며, 이는 일반화된 하이퍼기하급수의 k-해석학이다.
• 매개수 치환(예: $ k = 1 $, $ c = -1 $)을 적용하여 문헌에서 알려진 결과를 회복한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 수정 k-베셀 함수의 제1종은 k-특수 함수를 사용하여 어떻게 통합 적분 공식에 통합될 수 있는가?
• RQ2 일반화된 k-라이트 함수는 이러한 적분 결과를 표현하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 오버헤팅거의 적분 공식은 k-해석학을 갖는 베셀 함수를 포함하도록 확장될 수 있는가?
• RQ4 어떤 매개수 조건에서 도출된 공식이 고전적 베셀 함수 적분 공식으로 축소되는가?
• RQ5 k-Pochhammer 및 k-감마 함수의 사용은 기존의 적분 표현을 통합하는 데 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 첫 번째 적분 공식(정리 1)은 조건 $ \text{Re}(\mu + \nu + 2) < \text{Re}(\lambda + \nu + 2) $ 하에서 일반화된 수정 k-베셀 함수의 적분을 일반화된 k-라이트 함수 $ {}_{k,2}\Psi_3 $ 를 통해 표현한다.
• 두 번째 적분 공식(정리 2)은 $ {}_{k,2}\Psi_3 $ 를 포함하는 폐쇄형 표현을 도출하며, 결과는 $ 2^{1-2\nu-\mu} y^\nu a^{\mu-\lambda} k^{1+\lambda-\mu} \Gamma(\lambda - \mu) \times {}_{k,2}\Psi_3\left[\cdots \frac{cy^2}{4} \right] $ 로 주어진다.
• 만일 $ k = \lambda_1 = 1 $ 이고 $ c = -c $ 라면, 추론 3은 정리 2를 채이와 아그라왈(2014)의 알려진 결과로 축소시켜 기존 문헌과의 일致성을 확인한다.
• 매개수 $ b = c = 1 $ 으로 설정하고 적절한 매개수 치환을 적용하면, 베셀 함수 $ J_\nu(z) $ 의 고전적 적분 공식이 추론 4에서 도출된다.
• 수렴 조건 $ \sum \beta_j - \sum \alpha_i > -1 $ 하에서 일반화된 k-라이트 함수 $ {}_{k,2}\Psi_3 $ 는 정수 함수임이 입증되며, 이는 결과의 해석적 성질을 보장한다.
• 감마 함수 $ \Gamma_k(z) $ 와 $ (\gamma)_{n,k} $ 의 사용은 고전적 베셀 함수 적분 공식을 k-파arameter화된 프레임워크로 체계적으로 일반화할 수 있음을 보여준다.