[논문 리뷰] CFT$_D$ from TQFT$_{D+1}$ via Holographic Tensor Network, and Precision Discretisation of CFT$_2$

Lin Chen, Hao-Chen Zhang외 5명|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 21.

Parallel Computing and Optimization Techniques인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 레이저 격자 리노멀화군(RG) 연산자를 통해 D차원에서의 등각장이론(CFT$_D$)을 D+1차원에서의 위상적 양자장이론(TQFT$_{D+1}$)으로부터 실현하는 새로운 히스테리컬 텐서 네트워크 구조를 제안한다. RG 연산자의 고유상태와 D+1차원 위상적 오더의 기본 상태 간의 오버랩을 계산하여, 카테고리 대칭을 가진 CFT의 분할 함수를 생성한다. 주요 기여는 알려진 임계점(예: SU(2)$_k$ 모델)을 복원하고 $k=4$에서 삼중임계점(tricritical point)을 드러내는 정확하고 해석적으로 다룰 수 있는 히스테리컬 텐서 네트워크를 제공하며, 이는 AdS/CFT에 호환되는 블록-경계 상관함수를 수치적으로 계산할 수 있게 한다.

ABSTRACT

We show that the path-integral of conformal field theories in $D$ dimensions (CFT$_D$) can be constructed by solving for eigenstates of an RG operator following from the Turaev-Viro formulation of a topological field theory in $D+1$ dimensions (TQFT$_{D+1}$), explicitly realising the holographic sandwich relation between a symmetric theory and a TQFT. Generically, exact eigenstates corresponding to symmetric-TQFT$_D$ follow from Frobenius algebra in the TQFT$_{D+1}$. For $D=2$, we constructed eigenstates that produce 2D rational CFT path-integral exactly, which, curiously connects a continuous field theoretic path-integral with the Turaev-Viro state sum. We also devise and illustrate numerical methods for $D=2,3$ to search for CFT$_D$ as phase transition points between symmetric TQFT$_D$. Finally since the RG operator is in fact an exact analytic holographic tensor network, we compute ``bulk-boundary'' correlator and compare with the AdS/CFT dictionary at $D=2$. Promisingly, they are numerically compatible given our accuracy, although further works will be needed to explore the precise connection to the AdS/CFT correspondence.

연구 동기 및 목표

• D차원 CFT와 D+1차원 TQFT 사이의 정밀하고 해석적으로 다룰 수 있는 히스테리컬 dualities를 레이저 격자 RG 연산자를 사용하여 수립한다.
• RG 연산자의 고유상태와 TQFT 기본 상태 간의 오버랩이 카테고리 대칭을 가진 CFT의 분할 함수를 유도함을 보여준다.
• RG 연산자의 대수적 및 기하학적 구조를 활용하여 수치적 임계점 탐지에 적합한 새로운 텐서 리노멀화군 알고리즘을 개발한다.
• 정확한 히스테리컬 텐서 네트워크에서 블록-경계 상관함수를 계산하고 AdS/CFT 대응관계와의 호환성을 평가한다.

제안 방법

• D+1차원에서의 위상적 오더 $T$로부터 RG 연산자를 구성하며, 그 고유상태는 입력 분해 카테고리 $\mathcal{C}$ 내의 고차원 분리 가능한 프로페르스 대수에서 유도된다.
• RG 연산자의 고유상태 $|\Omega\rangle$와 TQFT 기본 상태 $|\Psi\rangle$ 간의 오버랩 $\langle\Omega|\Psi\rangle$는 카테고리 대칭을 가진 D차원 CFT의 분할 함수를 제공한다.
• 기초 TQFT로 D+1차원 Dijkgraaf-Witten 모델을 사용하며, 위상적 오더는 군 코hom로 클래스 $\alpha \in H^{D+1}(G, U(1))$로 정의된다.
• RG 연산자는 특정 텐서 구조(예: 삼각형 및 3점 정점)를 가진 텐서 네트워크로 구현되며, 반복적인 RG 흐름에서 고정점 웨이브패킷으로의 프로젝션을 강제한다.
• RG 연산자의 대수적 및 기하학적 성질을 완전히 활용하여 수치적으로 임계점을 탐지할 수 있는 새로운 텐서 리노멀화군 알고리즘을 설계하였다.
• 블록-경계 상관함수는 정확한 히스테리컬 텐서 네트워크에서 직접 계산하고 AdS/CFT 사전과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 D+1차원 위상적 오더에서 유도된 격자 리노멀화군 연산자가 카테고리 대칭을 가진 D차원 CFT의 분할 함수를 생성할 수 있는가?
• RQ2 정확한 텐서 네트워크 표현을 통해 D차원 CFT의 임계점을 수치적으로 탐지할 수 있는가?
• RQ3 RG 연산자의 고유상태 중 등각 고정점에 대응하는 정확한 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ4 히스테리컬 텐서 네트워크에서 계산된 블록-경계 상관함수는 AdS/CFT 대응관계와 어느 정도 호환되는가?
• RQ5 이 방법은 SU(2)$_k$ 모델과 같은 알려진 통합 레이저 모델의 임계 결합 상수를 복원하고 새로운 임계 행동을 드러내는가?

주요 결과

• RG 연산자의 고유상태와 TQFT 기본 상태 간의 오버랩 $\langle\Omega|\Psi\rangle$는 카테고리 대칭을 가진 D차원 CFT의 분할 함수를 제공하며, 이는 히스테리컬 관계를 명시적으로 실현한다.
• 이 방법은 SU(2)$_k$ 통합 레이저 모델의 알려진 임계 결합 상수를 수치적으로 복원하여 정확성과 예측 능력을 검증한다.
• SU(2)$_k$ 가족 내에서 $k=4$에서 새로운 삼중임계점이 발견되었으며, 이는 리노멀화군 흐름 내에서 새로운 고정점 구조를 시사한다.
• 2+1차원 이징 모델은 블록 위상적 오더로 4차원 토릭 코드를 사용하여 이상 상관함수로 성공적으로 실현되었다.
• RG 연산자의 대수적 및 기하학적 구조를 활용한 제안된 텐서 리노멀화군 알고리즘은 3차원 임계 온도의 정확한 수치적 탐색을 가능하게 한다.
• 정확한 히스테리컬 텐서 네트워크에서 계산된 블록-경계 상관함수는 수치적으로 AdS/CFT 사전과 호환되나, 정확한 연결 고리를 명확히 하기 위해 향후 연구가 필요하다.