[논문 리뷰] CGMY and Meixner Subordinators are Absolutely Continuous with respect to One Sided Stable Subordinators

Dilip B. Madan, Marc Yor|arXiv (Cornell University)|2006. 01. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 41

한 줄 요약

이 논문은 CGMY 및 메이크너 Lévy 과정이 한 방향 안정적 서보디네이터에 대해 절대 연속적인 시간 변화를 갖는 시간 변화 브라운 운동으로 표현될 수 있음을 입증한다—구체적으로, CGMY의 경우 $Y/2$-안정적 서보디네이터, 메이크너의 경우 $1/2$-안정적 서보디네이터를 사용한다. 이러한 표현은 서보디네이션을 통한 효율적 시뮬레이션을 가능하게 하며, 상관관계 있는 점프와 비대칭성을 갖는 다자산 파생상품 모델링의 기초를 제공한다.

ABSTRACT

We describe the CGMY and Meixner processes as time changed Brownian motions. The CGMY uses a time change absolutely continuous with respect to the one-sided stable $(Y/2)$ subordinator while the Meixner time change is absolutely continuous with respect to the one sided stable $(1/2)$ subordinator$.$ The required time changes may be generated by simulating the requisite one-sided stable subordinator and throwing away some of the jumps as described in Rosinski (2001).

연구 동기 및 목표

• CGMY 및 메이크너 과정이 시간 변화 브라운 운동으로 표현될 수 있음을 입증하는 것.
• 이 과정들의 시간 변화가 한 방향 안정적 서보디네이터에 대해 절대 연속적임을 증명하는 것.
• 관련된 안정적 서보디네이터를 통한 브라운 운동의 서보디네이션을 기반으로 한 시뮬레이션 전략을 개발하는 것.
• 모든 자산의 마진널 Lévy 역학을 유지하면서 기초 브라운 운동 간의 상관관계를 설정함으로써 다자산 구조화 상품의 실용적 모델링을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• Sato의 정리 30.1을 사용하여 서보디네이션된 브라운 운동의 Lévy 측도를 유도하며, 서보디네이터의 Lévy 측도가 결과 과정의 Lévy 측도와 어떻게 관련되는지 분석한다.
• Sato의 정리 33.1을 활용하여 절대 연속성 기준을 적용하며, $ \nu_A(dt) = f(t)\nu_B(dt) $ 를 만족하는 밀도 함수 $ f(t) $ 가 존재하고 $ \int_0^\infty \nu_B(dt)(\sqrt{f(t)} - 1)^2 < \infty $ 를 만족해야 한다는 조건을 설정한다.
• CGMY의 경우, Lévy 밀도 및 특성 함수 분석을 통해 시간 변화가 한 방향 안정적 $ Y/2 $ 서보디네이터에 대해 절대 연속적임을 입증한다.
• 메이크너의 경우, 밀도 $ k(x) = \frac{\delta a}{\sqrt{2\pi x^3}} $ 와 생존 확률 $ P(M_1^{(3)} \geq C\sqrt{u}) $ 를 활용하여 시간 변화가 한 방향 안정적 $ 1/2 $ 서보디네이터에 대해 절대 연속적임을 증명한다.
• 시뮬레이션은 기준 안정적 서보디네이터에서 유도된 점프를 생성하고, 과정의 매개변수에 따라 의존하는 함수 $ g(u) $ 를 사용한 수용-기각 기반의 희소화를 통해 수행된다.
• 최종 과정는 $ X = \frac{b}{a}\tau + \sqrt{\tau}z $ 로 시뮬레이션되며, 여기서 $ \tau $ 는 희소화된 시간 변화이고 $ z $ 는 표준 정규 변량이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CGMY 과정은 한 방향 안정적 서보디네이터에 대해 절대 연속적인 시간 변화를 갖는 시간 변화 브라운 운동으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 메이크너 과정은 한 방향 안정적 $ 1/2 $ 서보디네이터에 대해 절대 연속적인 시간 변화를 갖는 시간 변화 브라운 운동으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 시간 변화가 기준 안정적 서보디네이터에 대해 절대 연속적이도록 보장하는 라돈-니코디움 밀도의 함수 형태는 무엇인가?
• RQ4 이러한 표현 방식은 Lévy 성질을 유지하면서 과정을 효율적으로 시뮬레이션하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ5 실제 시장 데이터에 캘리브레이션된 경우, 시뮬레이션 방법의 경험적 정확도는 어떠한가?

주요 결과

• CGMY 과정은 한 방향 안정적 $ Y/2 $ 서보디네이터에 대해 절대 연속적임이 입증되어, 시간 변화 브라운 운동으로의 표현이 가능함을 보여준다.
• 메이크너 과정은 한 방향 안정적 $ 1/2 $ 서보디네이터에 대해 절대 연속적임이 증명되어, 시간 변화 브라운 운동 표현이 타당함을 입증한다.
• CGMY 및 메이크너 과정의 시뮬레이션은 기준 안정적 서보디네이터에서 유도된 점프를 $ g(u) $ 를 기반으로 한 수용-기각 메커니즘을 사용하여 희소화함으로써 수행되며, 이는 정확한 시간 변화 분포를 보장한다.
• CGMY의 경우 매개변수 $ C=1, G=5, M=10, Y=0.5 $ 로 설정했을 때 카이제곱 검정의 p-값은 0.9172로 이론적 밀도와의 우수한 일치를 나타낸다.
• 메이크너의 경우 매개변수 $ a=0.25, b=-1.5, \delta=1 $ 로 설정했을 때 카이제곱 검정의 p-값은 0.6427로 이론적 분포와 양호한 일치를 확인한다.
• 이 시뮬레이션 프레임워크는 각 마진널 과정의 독립적인 시간 변화를 유지하면서 기초 브라운 운동 간의 상관관계를 설정함으로써 다자산 모델링을 가능하게 한다.